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Kap. III. Höhere Differentialquotienten nsw. 
ersetzt man jede Potenz u" durch denjenigen Differentialquotienten 
uf a \ dessen Index derselbe ist. Fehlt jedoch in einem Gliede der 
Entivicklung der n ten Potenz eine Funktion u iJ so ist vor dem 
Ersetzen der Faktor uf, der gleich Eins ist, hinzuzufügen. Als 
dann ist unter die Funktion u i seihst zu verstehen. 
So folgt z. B. aus dem binomischen Satze 
(w + „)” _ M» + “ ,(«-> V + M( ”~ 1) «—* v‘ + ■ • • + v, 
wofür man zunächst zu schreiben hat: 
(u + v) n = u n v 0 + y u n ~' v 1 -f W -T"2- w n - 2 v 2 + • • • + mV, 
sofort: 
dfuv) __ w (n) v _j_ u (n-i) v ' _|_ w it( n - 2 )p" 
ax n 1 1*2 
72. Höhere partielle DifFerentialquotienten von 
zusammengesetzten Funktionen. Es sei f eine Funktion 
von u, v, w, . . ., die ihrerseits nicht wie bisher von nur 
einer Veränderlichen, sondern von n Veränderlichen x v x 2 ,...x n 
abhängen. Alsdann ist f eine zusammengesetzte Funktion der 
n unabhängigen Veränderlichen x lf x % , ... x n . Will man ihre 
partiellen Ableitungen 
df df Zf 
dxj * dx s ’ cx n 
berechnen, so hat man alle Veränderlichen x x , x % ,... x n außer 
je einer wie Konstanten zu behandeln. Nach Satz 22 in Nr. 42 
ist also: 
(1) 
df = . du 
dx t dxi 
, f dv_if dv3 _ _i_ 
" r '•dx t ^ ,u > dx { " r 
0' = 1,2,...»). 
Diese ersten partiellen Ableitungen von f sind wieder zu 
sammengesetzte Funktionen von x x , # 2 , . . . x n . Sie sind näm 
lich zusammengesetzt aus u, v, w,. . . und den ersten partiellen 
Ableitungen von u,v,w,.... Die partiellen Ableitungen zweiter 
Ordnung von f nach x x f x^,... x n sind die partiellen Ableitungen 
erster Ordnung von diesen Funktionen (1). Also sind sie nach 
derselben Methode zu berechnen. So z. B. ergibt sich aus (1) 
durch partielle Differentiation nach x k : 
71, 72]