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§ 3. Differentiation der zusammengesetzten Funktionen 109 
d*f ... 0/w du | df v dv df w dw 
cx i cx k dx k dx { ’ t_ ox k d Xi ' dx k dxi ' ’ ’ ' 
+ f 4- f -ül_ + f J d ' w .. + . . . 
' “ dx t dx k ' ' v 8 Xi dx k ' ' 10 dx x 9 cc* ' 7 
und hierin sind die Werte einzutragen: 
<>fu = f du . „ dv dw 
da;* das* ' uw dx k ‘ 7 
df v _ r du_ r dv „ dw^ 
dx k ~ ' vu dx k ' vv dx k ' dx k ' ' '* 
dfw __ f diu i f dv_ - dw 
dx k lwu dx k ~ r ,wv dx k lww dx k ' ' ‘ 7 
Es ergibt sich so, weil = f uv usw. ist: 
(2) 
d i f r du du 
/ UU 
dx { dx k 
d Xj, dx k 
j. dv dv^ 
' ov dxi dx k 
dv dw 
'du d v , du dv 
\d Xi dx k dx k dx. 
-1-0. _L f ( 
idx k ^ 1 
+ f ( 
1 l uw \ 
/. /dvdw dv dw\ „ 
+ fvw\j) Xi fi Xk “h dx k dxj ‘ u>w dx t dx k 
du dw du dw 
dxidx k ' д x k d x t 
dw dtv 
+ fu 
CU 
+ fv 
d*v 
dxidx k l ' B dx i dx k 
+ fw 
d*w 
dx t dx k 
+ 
In entsprechender Weise ergehen sich die höheren par 
tiellen Ableitungen von f nach x 1} x 2) ... x n . 
Beispiel: Es sei f eine Funktion der rechtwinkligen 
Punktkoordinaten x, y, die ihrerseits durch die Bolarkoordi- 
naten p, co ausgedrückt seien: 
X — Q cos CO, y = p sin CO. 
Alsdann ist f eine zusammengesetzte Funktion von p und cd. 
Hier spielen x, y die Rolle der u, v, w, . . . und p, eo die der 
x 1} x 2 , ... x n . Also kommt: 
= f x cos G> + f y sin CJ, H = - f x Q sin a + f y Q COS CO, 
d 2 f 
öp = (fxx C0S 03 + fxy sin ®) Ö0S ® + (f xy COS CO + f yy sin eo) sin CO 
= f xx cos 2 a 4- 2 f xy sin co cos (0 + f yy sin 2 co,