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§ 4. Vollständige Differentiale 
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h S «B- 0» 
merhalb jenes 
^sen einzeln, 
sind, alle » 
Aussagen, 
ebenso nicht, 
f(a, b) = f(a, b) = f{a, b') = fia", &') = ••• = f(a lf b x ). 
Das Entsprechende ist im Falle einer Funktion f von n Ver 
änderlichen x x , x s , . . . x n zu sagen. Wir gelangen also stets 
zu dem 
Satz 8: Das vollständige Differential einer Funktion f von 
n Veränderlichen x x , x 2 , . . . x n ist innerhalb des Variabilitäts- 
opt im Varia- 
n Falle einer 
'J näher aus 
reiche der er- 
bereiches der Veränderlichen dann und nur dann überall gleich 
Null, wenn die Funktion f innerhalb des Bereiches überall einen 
und denselben Wert hat. 
Nun seien u und v zwei Funktionen von x X) x 2 , . . . x n , und 
es bedeute f ihre Summe oder Differenz u + v. Da dann 
e Paare, so 
a, radieren, 
fegen cf: > x 
fut u b) sein 
ron b bis hj 
ergibt, daß 
>WM) 
b denselben 
df du cv df die dv 
dx, dx, — dx, ’ dx 3 dx t — dx 2 usw - 
ist, folgt aus (1): 
df = du + dv. 
Entsprechendes gilt, wenn f eine algebraische Summe von 
mehr als zwei Funktionen ist. Also: 
Satz 9: Das vollständige Differential einer algebraischen 
Summe ist gleich der algebraischen Summe der vollständigen 
Differentiale der Summanden. 
Dieser Satz entspricht dem Satze 6 in Nr. 29. Wie dort 
folgt hier aus Satz 9 und Satz 8 sofort 
eben: Es ist 
\k diejenigen 
\ gesetzt und 
ich ist, ob er 
sich ergeben, 
ird. Ist dies 
,e enthaltene 
Satz 10: Die vollständigen Differentiale zweier Funktionen 
von n Veränderlichen x x , x 2 , ... x n sind innerhalb eines gemein 
samen Variabilitätsbereiches dann und nur dann überall ein 
ander gleich, ivenn die Differenz beider Funktionen innerhalb 
des Bereiches überall einen und denselben Wert hat. 
75. Vollständiges Differential einer zusammen 
gesetzten Funktion. Jetzt sei f eine Funktion von m Ver 
änderlichen u x , u 2 , . . . u m . Diese selbst seien ihrerseits Funk 
tionen von n Veränderlichen x lf x 2 , . . . x n , so daß f eine zu- 
ur die y = ^ 
thalten sind, 
H von b bis 
V ist und t 
Onötblgerung 
sammengesetzte Funktion von x x , x 2 , ... x n ist. Wir suchen ihr 
vollständiges Differential df, also die Summe der partiellen 
Differentiale 
df i df , df 
Q dx., ^ ± -dx 2 ,... ^—dx n . 
dx, 1; dx^ n dx n n 
Nun ist allgemein: 
Serret-Scheffers, Diff.-u. Integr.-Reehn. I. G.u. 7. Aufl. 8 [74 75 
8 
[74, 75