Viertes Kapitel. 
Differentiation unentwickelter Funktionen. 
§ 1. Unabhängigkeit топ Funktionen und Gleichungen. 
77. Definition der Unabhängigkeit von Punktionen. 
Wir wollen jetzt eine Reihe von formalen Betrachtungen vor 
führen. Dabei ist es unerläßlich, die folgende Forderung zu 
stellen: 
Forderung (5: Jede vorkommende Gleichung zwischen Ver 
änderlichen ist so beschaffen, daß vermöge ihrer jede wirklich 
in ihr auftretende Veränderliche implizite als Funktion der 
übrigen definiert wird. Jede vorkommende Funktion, insbesondere 
auch jede implizite definierte, ist innerhalb eines gewissen Varia 
bilitätsbereiches stetig und hat dort ebenfalls stetige partielle Ab 
leitungen erster Ordnung. 
Wenn eine Gleichung f(x x , x 3 , . . . x n ) = 0 zwischen n Ver 
änderlichen x x , x s , ... x n vorliegt, kann man allerdings be- 
weisen, daß sie z. B. x x implizite als stetige Funktion von 
# 2 , x 3f . . . x n mit stetigen partiellen Ableitungen definiert, so 
bald man über die Funktion f selbst gewisse Voraussetzungen 
macht. Wir wollen jedoch auf derartige Fragen, die uns erst 
im dritten Bande beschäftigen werden, hier gar nicht ein- 
gehen, ihre Beantwortung vielmehr durch die Forderung 6 
ersetzen. Ist x x durch die Gleichung f(x t , x 3 , ... x n ) = 0 als 
Funktion von x 2 , x 3 , ... x n definiert, so können wir diese 
Funktion symbolisch mit q>(x 2 , x 3 , . . . x n ) bezeichnen. Als 
dann sagen wir: Die Gleichung /’=0 hat die Auflösung x x = 
<p(x 2 , x 3 ,... x n ). 
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