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Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
Alsdann ist m <Ln. Sind die Gleichungen (1) etwa hin 
sichtlich x lf x 2 , . . . x m voneinander unabhängig, so erhalten 
wir Auflösungen von der Form: 
X^ = j • • • %n)) • • • X m " ^m (, X m + lt ’ ' * X n) ’ 
Anders gesagt: Die m Gleichungen (1) lassen sich auf die 
Form eines Systems von m Gleichungen 
(4) x k • • • x n) ~ ^ (& = 1, 2,... m) 
bringen. Die linken Seiten dieser m Gleichungen sind Funktionen 
(5) 24 = x k *Pk ( x m+i> • • • x n) (k = 1,2,... m) 
von x v x s , . . . x n . Da sich die Gleichungen (5) nach #,,... x m 
auflösen lassen in der Form x k = y k -f- ij> k , so folgt aus Satz 1 
in Nr. 78, daß y tf y 2 ,. .. y m voneinander unabhängige Funk 
tionen hinsichtlich x x , x 2 , . . . x m sind. Hieraus ergibt sich all 
gemein: 
Satz 2: Sind tn Gleichungen in n Veränderlichen x X) 
x if ... x n voneinander unabhängig hinsichtlich m Veränderlicher 
x a , Xp x y , . . ., so lassen sie sich durch Auflösung auf eine 
Form 
fk ( x i> x a> • • • x n) = 0 (k = 1, 2,.. . tn) 
bringen, in der ihre linken Seiten voneinander unabhängige 
Funktionen hinsichtlich x a , x^, x y , . . . sind. 
Wenn umgekehrt ein System (1) vorliegt, in dem die 
linken Seiten f x ,f 2 , . . . f m voneinander unabhängige Funktionen, 
etwa hinsichtlich x lt x if . . . x mf sind, lassen sich die m 
Gleichungen 
(6) Vi ~ f (x if x if .. . #„) (t = 1,2,... tu) 
infolge von Satz 1 in Nr. 78 nach x x , x 2 , . . . x m auflösen. 
Setzen wir in den Auflösungen y x — y 2 = • • • = y m = 0, so 
gehen die Auflösungen des Systems (1) nach x x ,x 2} ...x m 
hervor. Also: 
Satz 3: Sind m Funktionen f i} f 2> ... f m von n Ver 
änderlichen x lf x s , ... x n voneinander unabhängig hinsichtlich 
m Veränderlicher x a , x ß , x y , . . ., so sind auch die m Glei 
chungen f x = 0,... f m = 0 voneinander unabhängig hinsicht 
lich x a} x fi , X y ,...