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§ 1. Unabhängigkeit von Funktionen und Gleichungen 125 
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Durch die Sätze 2 und 3 wird die Untersuchung der Un 
abhängigkeit von Gleichungen auf die Untersuchung der Un 
abhängigkeit von Funktionen zurückgeführt. 
80. Die Funktionaldeterminante. Als analytisches 
Kennzeichen der Unabhängigkeit von Funktionen dient, wie 
wir zeigen werden, der Wert ihrer Funktionaldeterminante 
oder Jacobischen Determinante, von der wir schon in Nr. 56 
und 58 sprachen. Unter der Funkionaldeterminaute von 
m Funktionen 
(!) i> 8 , (i =1,2,... m) 
von nQ>m) Veränderlichen x x , x 2 , . . . x n und zwar unter 
der Funktionaldeterminante hinsichtlich der m Veränderlichen 
»/»>••• versteht man die w-reihige Determinante der m 2 
partiellen Ableitungen erster Ordnung von y x , . . . y m nach 
x u> x [i> • • • X fi- Wie schon gesagt, wird sie symbolisch mit 
fi U • • • L 
24 ■ 
■■y m \ 
oder 
( fl 
\ X a 
x r 
■ ■ X J 
\ X a 
. X, 
7? n' 
bezeichnet. So ist die Funktionaldeterminante von y x , y 2 , 
hinsichtlich 
? *^2 ? * * * * 
Vr 
(2) 
24 2/2 
% # 2 
14 
14. 
..14 
dx, 
dx t 
dx m 
14 
dfi 
14 
dx, 
dx 2 
Hm 
Hrn. 
dfm 
dx, 
d x 2 
* 
Sind nun die m Funktionen y lf y 3 , ... y m voneinander 
abhängig, so besteht zwischen ihnen eine Gleichung; sie ent 
halte etwa y x wirklich, so daß ihre Auflösung nach y x gibt: 
. 24 = 05 (24; 24, • • • 2/J- 
Dann ist also: 
fi = a (f^ fi) • • • 4)> 
so daß hierdurch als zusammengesetzte Funktion von x x , 
x n dargestellt wird. Nach Nr. 72 ist folglich für 
X 2, 
¿ = 1,2,...«: 
H 
d Xi 
dco df% da df s 
dfi dx, df s dx, + 
+ 
Ca df m 
df m dx. 
[79, 8«