126 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
Die Determinante (2) ändert nun bekanntlich ihren Wert 
nicht, wenn wir von ihrer ersten Zeile die mit irgendwelchen 
Größen multiplizierten übrigen Zeilen subtrahieren. Multipli 
zieren wir diese dabei insbesondere mit 
da doi da> 
Wt ’ W 9 ' " cfJ 
so zeigt die letzte Gleichung, daß alle Glieder der ersten Zeile 
gleich Null werden. Sobald also m Funktionen f x , f it 
von n Veränderlichen x x , x 2 , ... • ( n ^ m ) voneinander ab 
hängig sind, ist die Funktionaldeterminante von f l} f 2) .. . f m 
hinsichtlich irgendwelcher m Veränderlichen aus der Beihe aller 
n Veränderlichen x x , x 2 , ... x n stets gleich Null. 
Wir wollen jetzt beweisen, daß dagegen, wenn f X) f t ,. .. f m 
etwa hinsichtlich x x , x 2 , . . . x m voneinander unabhängig sind, 
ihre Funktionaldeterminante hinsichtlich x Xi x 2 , ... x m nicht 
gleich Null ist. Dazu bedienen wir uns des Schlusses von 
m — 1 auf m, denn es ist sicher richtig für m = 1. In der 
Tat, ist m = 1, d. h. liegt eine Funktion y = f(x l} x 2 ,.. . x n ) 
vor, so ist sie nach der allgemeinen Definition in Nr. 77 als 
unabhängig zu bezeichnen, wenn sie keine Konstante c ist, da 
ja sonst eine Gleichung in y allein vorhanden wäre, nämlich 
y — c = 0. Insbesondere ist sie nun als unabhängig hin 
sichtlich x x zu bezeichnen, wenn die Gleichung y = f nach x x 
auflösbar ist, d. h. wenn die Funktion f die Veränderliche x x 
wirklich enthält. Alsdann aber ist cf: cx x =V 0. Aber für 
m = 1 reduziert sich die Funktionaldeterminante (2) gerade 
auf df: cX x . 
Die Behauptung wird hiernach bewiesen sein, wenn wir, 
ausgehend von der Annahme, daß sie für m — 1 Funktionen 
richtig sei, bewiesen haben, daß sie auch für m Funktionen 
gilt. Dieser Beweis ist wie folgt zu führen: 
Nehmen wir an, die Funktionen (1) seien unabhängig 
hinsichtlich x x , x 2 , . . . x m . Dann sind die Gleichungen (1) 
nach Satz 1 in Nr. 78 nach x x , x 2 , . . . x m auflösbar, und zwar 
etwa die m — 1 letzten gerade nach x 2 , x ä , . . . x m , so daß 
also die m — 1 Funktionen y 2 , y 3 , . . . y m gerade hinsichtlich 
x 2 , x s ,.. . x m voneinander unabhängig sind. Nach Annahme 
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