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§ 1. Unabhängigkeit von Funktionen und Gleichungen 127 
ist in diesem Falle die Funktionaldeterminante von f 
! ¿7 ! 6) Im 
hinsichtlich x 2 , x 3 , ... x m nicht gleich Null, also: 
(3) 
,x 2 x 3 ... x m / 
Wenn -wir die aus den m — 1 letzten Gleichungen (1) durch 
Auflösung hervorgehenden Werte von x 2 , x 3 , . . . x m in die erste 
einsetzen, drückt diese y 1 durch x 1} y 2 , . . . y m aus: 
2/1 = <p («i, y*> y s > • • • y m )- 
Diese Gleichung ist nicht frei von x 1; da sonst eine Gleichung 
zwischen y 1} y 2 , . . . y m bestände, was ihrer vorausgesetzten Un 
abhängigkeit widersprechen würde. Wir haben also 
(4) 
fi 
= <p{x u f 2 J 3 , 
■ • • frn)> 
wo 
(5) 
p^ + o 
dx x 
ist. 
Durch (4) wird f\ als zusammengesetzte Funktion von x x 
■ 
. . x m dargestellt. 
Nach Nr. 72 
sind ihre partiellen Ablei- 
tungen erster Ordnung diese: 
dji = jhp 
dx x dx x 
_j_ dy_ H^ 1 _ 
dfi dx x 
.. , d tp df m 
dfm dx x ’ 
dfi 
dtp df 2 , 
df\ dx 2 ^ 
. . , dfm 
’ 1 ~ dfm dx 2 ’ 
dx% 
dx m 
dtp dj\ _ 
dU dx m 
.. i dJL Hn. 
^ dfm dx m ' 
Wenn wir nun in der Funktionaldeterminante (2) von der 
ersten Zeile die bzw. mit 
dqj dtp dtp 
df 2 ’ oft ’ d f m 
multiplizierten übrigen m — 1 Zeilen abziehen, was ihren Wert 
nicht ändert, zeigt sich, daß alle Glieder der ersten Zeile 
mit Ausnahme des ersten gleich Null werden. Die wweihige 
Determinante (2) ist daher das Produkt dieses ersten Gliedes 
d(p'-dx x mit der zugehörigen (m—l)-reihigen Unterdeterminante, 
die ihrerseits nichts anderes als die in (3) angegebene Deter 
minante ist. Nach (3) und (5) ist mithin die Determinante (2) 
von Null verschieden.