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Kap. IV. Differentiation unentwickelter Punktionen 
Wenn ferner y x , y 2 , . . . y m insbesondere voneinander un 
abhängige Funktionen von x x , x 2 , . . . x m sind: 
(5) yic~ • • • X nt) (Ä) = 1, 2, . . . Ul), 
haben die Gleichungen (5) nach Satz 1 von Nr. 78 Auflösungen 
nach x x , x 2 , . . . x m : 
x i = % (Vu V2> • • • Vm) (1=1,2,... m). 
Damit sind x x , x 2 , . . . x m als Funktionen von y x , y 2 , . . . y m 
dargestellt. Indem wir den in Nr. 10 aufgestellten Begriff ver 
allgemeinern, werden wir diese neuen m Funktionen die zu 
f x , /2? • • • fm inversen Funktionen nennen. Da nun 
X 1 = % Ol, Vil • • • SO» 2/* = /*0!>*»,••• X m) 
ist, liegt ein besonderer Fall zu den früheren Annahmen (1) 
und (2) vor, indem nunmehr z x , z 2 , . . . z m durch x x , x 2 ,... x m 
zu ersetzen sind. Aus (4) folgt also, weil die Funktional 
determinante von x 1} x 2 ,. . . x m hinsichtlich x x , x 2) . . . x m selbst 
gleich Eins ist: 
( x 1 
x 2 . . 
• *-1 ( 
?/i 
y% ■ 
■ • • i/m\ 
Ih • • 
• y m / \ 
x i 
x 2 
• • • X J 
( X 1 
x 2 . 
• • X m\ 
1 
y2 • 
..'?// 
Vm 
( y ‘ 
Vi • • • y, 
\x l 
x t ... X, 
Satz 6: Die Funktionaldeterminante der zu m unabhängigen 
Funktionen von m Veränderlichen gehörigen inversen Funktionen 
ist gleich dem reziproken Werte der Funktionaldeterminante der 
ursprünglichen Funktionen. 
Im Falle m— 1, wo also eine Funktion y = f(x) von 
einer Veränderlichen x vorliegt, gibt die Auflösung x = <p(y) 
die zu y inverse Funktion in dem früheren, beschränkteren 
Sinne. Man sieht also, daß Satz 6 die natürliche Verallgemeine 
rung des Satzes 18 in Nr. 37 vorstellt, wonach 
dx l 
dy dy~ 
dx 
ist. 
Beispiel: Sind x, y rechtwinklige Punktkoordinaten in 
der Ebene und q, a die zugehörigen Polarkoordinaten, ist also: 
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