142 
Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
läge der Fall von Nr. 86 vor —, mehrere Male nach x diffe 
renzieren. Nach Nr. 82 bilden wir so viele Gleichungen 
bis wir in ihnen zusammen mit (1) hinreichend viele Glei 
chungen vor uns haben, aus denen sich c lf c 2) ...c n eliminieren 
lassen. Dazu braucht man höchstens w-mal zu differenzieren, 
sobald die Gleichung (1) zusammen mit den n — 1 ersten 
Gleichungen (2) hinsichtlich der n Größen c X} c 2 , . . . c x von 
einander unabhängig sind. Die Elimination von c l} c t ,...c H 
aus den n + 1 Gleichungen (1) und (2) gibt dann eine Glei 
chung von der Form: 
F{x, y, y, y", . . . y w ) = 0. 
(3) 
Sie heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung n ler Ordnung 
für eine abhängige Veränderliche und drückt eine Eigenschaft 
aus, die allen durch (1) definierten Funktionen y von x zu 
kommt. 
Übrigens können wir dies Eliminationsproblem auf das 
in der vorigen Nummer besprochene zurückführen. Wenn wir 
nämlich y', y'\ . . . yö 1 - 1 ) als Funktionen von x mit e 1 
bezeichnen, haben wir statt der einen Gleichung (1) die 
n Gleichungen: 
f0, y, cf, c 2 , . . . cj = 0, 
r, I/J, i/ 2 ; • 
(4) 
worin y, y" } ... yö*- 1 ) die Differentialquotienten der durch die 
erste Gleichung definierten Funktion y von x und daher Funk 
tionen von x und c 1 ,c 3 ,...c n sind. Es liegen also n Glei 
chungen zwischen den n -f- 1 Veränderlichen x, y, e 1} . . • z n _i 
vor, die außerdem willkürliche Konstanten c 1 ,c i ,...c n ent 
halten. In Nr. 87 lag Entsprechendes vor, nur waren dort 
die abhängigen Veränderlichen mit y 1} y 2 , . . . y bezeichnet. 
Wenn wir mithin so wie dort Vorgehen, d. h. die Gleichungen (4) 
88]