144 Kap. IV Differentiation unentwickelter Funktionen 
und y sein sollen, sobald darin z als Funktion von x und y 
betrachtet wird. Nach Satz 4 von Nr. 80 ist dazu notwendig 
und hinreichend, daß die Funktionaldeterminante 
du du 
dx dy du cv du dv _ ^ 
dv dv ** dx Sy dy dx ~ 
dx dy 
sei. Dabei ist aber die Bedeutung der Ableitungen von u und 
v, weil x und y in z Vorkommen, wohlbemerkt diese: 
du , du . 
si - “* + *‘j>> Ty ~ u > + “*«> 
dv c v . 
Tx -% + %v, g i -», + 0.9, 
wenn wir wie in dem Beispiele zu Nr. 85 die partiellen Ab 
leitungen erster Ordnung von z nach x und y mit p und q 
bezeichnen. Also ergibt sich: 
(u x + u 2 p) (v y + v z q) - (u y + u t q) (v x + v z p) = 0 
oder ausmultipliziert: 
U x V y - U y V x + ( U z V y - U y V :)P + ( U x V z ~ U , V x)Q = 0 
oder auch: 
p q -1 
U X u y u z — 0. 
V x V y V z 
Wie man sieht, ist dies eine Gleichung, die x, y uud z 
und außerdem die partiellen Ableitungen erster Ordnung 
dz:dx und dz\dy, nämlich p und q } und zwar diese beiden 
bloß linear, enthält. Eine Gleichung in x, y, z und den 
beiden Ableitungen de:ex und dz:cy heißt eine partielle 
Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z der 
beiden unabhängigen Veränderlichen x, y. Da die Ableitungen 
linear auftreten, liegt hier insbesondere eine lineare partielle 
Differentialgleichung erster Ordnung vor. 
Satz 7: Sind u und v gegebene Funktionen von x, y und z, 
so genügt die Gesamtheit derjenigen Funktionen z von x und y. 
die durch irgendeine Gleichung <h(w, v) = 0 in u und v defi 
niert werden können, was für eine Funktion von u urul v auch 
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