146 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
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^U, 
du l 
du i 
+ P2 
du, 
du, 
+ 
Pn 
du, I 
dx, 
+ 
Pi 
dz 
3 
dz ‘ 
' 8x n 
dz 
(2) 
du, 
dx, 
+ 
Pi 
du, 
dz 
du^ 
3 x% 
+ Pi 
du, 
dz 
du, 
' dx n 
+ 
Pn 
du, 
dz = 0 
du n 
du n 
du n 
cu n 
du n 
+ 
du n 
dx, 
+ 
Pi 
dz 
dx, 
+ P'2 
dz 
' dx n 
Pn 
dz j 
Diese Determinante läßt sich in eine Summe von w-reihigen 
Determinanten zerlegen, da jede Reihe in zwei Reihen zu zer 
fallen ist. Aber die zweiten Teile aller Reihen sind zueinander 
proportional, sie bestehen nämlich aus den Gliedern 
/q\ CU, CU n 
vD dz > dz ’ ‘ ' dz ’ 
bzw. multipliziert mit p 1} p 2) . . . p n . Die Zerlegung der Deter 
minante in einzelne liefert also viele Determinanten, deren 
Werte gleich Null sind, und es bleiben nur n -f- 1 Deter 
minanten übrig. Verstehen wir unter A die Determinante: 
I du, 
du, 
du, 
dx, 
3 x% 
cx n 
du, 
du, 
du, 
dxi 
dx, 
dx 
w n 
du n 
cu n 
du n 
1 dx, 
dx, 
dx n 
und unter diejenige, die aus ihr hervorgeht, wenn wir die 
i te Reihe durch die Reihe der Glieder (3) ersetzen, so leuchtet 
ein, daß die Gleichung (2) die Form annimmt: 
(4) A +i> 1 A 1 + p,A 3 + • • • + p n A n = 0. 
Hierin sind A, A } , A 2 , . . . A n gegebene Funktionen von 
x 1} x. 2 , . . x n und z. Die Gleichung (4) enthält außerdem die 
partiellen Ableitungen erster Ordnung von z nach x lf x 2 , ... x n , 
nämlich p u p 2 , . . . p n} und zwar linear. Sie heißt daher eine 
lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die 
Funktion z von n unabhängigen Veränderlichen x l} x 3 , . . . x n . 
Satz 8: Sind u t , u t , ... u n gegebene Funktionen von x lf 
x 3 ,... x n und z, so genügt die Gesamtheit derjenigen Funktionen 
z von x 1} x 3 , . . . x n , die durch irgendeine Gleichung 
#(«i, « 2 , ...*0 = 0