1 52 Кар. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
definieren. Es handelt sich nun darum, insbesondere für die 
Funktionen z von x 1; x 2 ,. .. x n , die hierdurch definiert werden, 
eine Eigenschaft zu finden, die von der besonderen Wahl der 
willkürlichen Funktion cp von a lf a 2 , . . . « n _i unabhängig ist. 
Wenn wir unter a lf a 2 ,, . . oc n _ 1 die aus den letzten n — 1 
Gleichungen (3) zu berechnenden Funktionen von x 1 ,x 2 ,...x n 
und z verstehen, wird F=0 eine Gleichung in x lf x 2 , . . . x n 
und z allein, und es muß das vollständige Differential 
dv 
d “n-X=® 
dv, . , dv, , dv-, . dv, . 
W 'dx l + -+ w J x „ + Ti ( lz+^du 1 + - , dttn _ t 
sein. Infolge der n — 1 letzten Gleichungen (3) fallen nun die 
n — 1 letzten Summanden fort. Außerdem ist dz=p l dx l -\- 
■ • • + P n dx n , wenn jpj, . . .p n wie in Nr. 90 die partiellen Ab 
leitungen erster Ordnung von z bedeuten. Da die Gleichung 
für alle Werte der beliebig anzunehmenden Differentiale dx t , 
dx 2 , . . . dx n der unabhängigen Veränderlichen x i} x 2f . . . x n 
gelten muß, kommt mithin einzeln: 
гл\ dV . dV л dV . dV n 
i 4 ) i =0 > 2 = °> 
dv , dv л 
dx r ‘ dz 1 ' 1 dx t ' dz r2 "’ dx n 1 dz 
Eliminieren wir a lf a 2 .... a n _ 1 und cp aus diesen n Gleichungen 
(4) und der Gleichung V = 0, so geht die gesuchte partielle 
Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z von 
x t) x 2 ,... x n hervor: 
F(x u x i} ... x n , z,p u p 2f ...p n ) = 0. 
§ 5. Einführung топ neuen Veränderlichen. 
93. Darstellung einer Kurve mittels einer Hilfs- 
veränderlichen. V ir haben bisher eine Kurve durch eine 
Gleichung у — f{x) oder — unaufgelöst — durch eine Glei 
chung F(x, y) — 0 in den rechtwinkligen Koordinaten x, у 
dargestellt. Aber auch zwei Gleichungen von der Form: 
(1) x = cp(t), у = y>(t) 
stellen eine Kurve dar, wenn t die unabhängig veränderliche 
Größe, eine sogenannte Hilfsveränderliche (Parameter) ist, 
von der die Koordinaten x, у der Punkte der Kurve abhängen. 
Solche Fälle treten z. B. dann auf, wenn man anzugeben 
weiß, welche Koordinaten ein beweglicher Punkt zu einer 
92, 93]