§ 6. Einführung von neuen Veränderlichen 
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beliebigen Zeit t bat. Wenn man aus der ersten Gleichung (1) 
die Veränderliche t als Funktion von x berechnet, also die in 
verse Funktion t — &(x) bildet und sie in die zweite Gleichung 
ein setzt, geht die gewohnte Darstellung von y als Funktion 
von x in der Form y = ^^(x)) hemm. 
Es entsteht nun häufig das Problem, einen Differential 
ausdruck, der in bezug auf die neue Darstellungsform (1) einer 
Kurve gefunden worden ist, so umzuformen, daß er auch für 
die alte gewohnte Darstellungsform y = f(x) brauchbar ist. 
Dies aber können wir leisten, sobald wir die Aufgabe ge 
löst haben: 
Gegeben sind die Ableitungen von x und y als Funktionen 
einer dritten Veränderlichen t; gesucht icerden die Werte der 
Differentialquotienten 
dy cPy 
dx ’ dx 2 ’ ' ' ’’ 
ausgedrückt durch jene Ableitungen nach t. 
Hierbei wollen wir die Ableitungen von x und y nach t 
mit x, x , . . . und y, y", . . . bezeichnen: 
dt y ’ dt 2 
Es ist jetzt y die Funktion von t, aber t die zu x = cp(t) 
inverse Funktion von x. Nach Satz 11 von Nr. 33 und Satz 18 
von Nr. 37 haben wir daher: 
dy dy dt , dt i . dx 
dx dt dx Un dx ' dt 
Also folgt: 
(2) Z ■ I ■ 
Hierdurch ist dy : dx als Funktion von t gefunden. Ersetzen 
wir in dieser Formel y durch y :x, so folgt ebenso: 
(3) 
d 2 y 
dx 2 
weiterhin ebenso: 
■xy' ! — y'x 
< x'* 
x (,x'y— y'x") — Sx"(x'y" — y’x”) 
x' B 
dt 
x 
usw. 
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