Full text: Differentialrechnung (1. Band)

154 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
Übrigens ist die Darstellungsform y = f(x) einer Kurve 
nur ein besonderer Fall der Darstellungsform (1). Ist nämlich 
tp(t) gleich t selbst, so wird die Form (1) diese: x = t, y = iy(t) 
oder kürzer: y = Im Falle x = t wird ferner x = 1, 
x" = 0, x"' = 0,.. . und y =dy:dx, y" — d}y: dx i , .. ., so daß 
dann (2), (3) und (4) Identitäten werden. 
Ein anderer Spezialfall geht hervor, wenn wir die zweite 
Gleichung (1) in der einfachen Form y = t annehmen, da dann 
die Kurve in der Form x = <p(y) gegeben ist, also in der zu 
y = f(x) inversen Form. In diesem Falle ist y' — 1, y = 0, 
y" = 0, . . ., dagegen x = dx : dy, x" = d 2 x : dy* . . ., so daß 
(2), (3) und (4) geben: 
dx dx’ dx* /dx\ n ’ dx s tdx\ b 
dy \dy) \dy) 
Es ist oft im Hinblicke auf die Symmetrie und vielseitige 
Verwendbarkeit der Formeln vorteilhaft, die Hilfsveränderliche 
t nicht zu spezialisieren. 
Dieselben Vorteile wie eine Hilfsveränderliche t gewährt 
das Rechnen mit Differentialen statt mit Differentialquotienten. 
Wenn wir nämlich jetzt wieder unter y, y", y",. . . die Ab 
leitungen von y nach x verstehen, also nicht die Ableitungen 
nach t, wie es vorhin geschah, so haben wir: 
(5) dy^ydx, dy' = y"dx, dy" = y"dx,. ... 
Diese Formeln gelten, welche Größe auch die unabhängige 
Veränderliche sein mag, nach Satz 11 von Nr. 33. Die erste 
Gleichung gibt nun, wie bekannt: 
№ 
Wenn man hierauf die Regel von der Differentiation eines 
Bruches anwendet (vgl. dabei Satz 12 von Nr. 75), so kommt, 
welche Größe auch die unabhängige Veränderliche sein mag: 
n / dxd i y — dyd 2 x 
ay = dx^~ 
oder nach der zweiten Formel (5) durch Division mit dx: 
(V 
»3] 
y 
dxd 2 y — dyd 2 x 
dx*
	        
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