§ 5. Einführung von neuen Veränderlichen 
X, y, Q, 1p durch 8, Q, r, 6 
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ersetzt werden, so folgt, daß entsprechend (6) die Beziehung 
besteht: 
d 2 u d 2 u 
Jz* + “de*“ 
d 2 u 1 d 2 u 1 du 
dr* r* dd 2 r dr 
ebenso entsprechend der zweiten Gleichung (5) diese: 
du du . n , du cos 0 
3- = x— sin 6 -f 
dg dr dd r 
Die so dargestellten Ausdrücke treten nun in (7) als Summan 
den auf. Also ist: 
~ d 2 u 1 d 2 u 1 cu 1 d 2 u du sin 0 du cos 0 
dr* ' r* d0* ' r dr ' g 2 dtp 2 dr g dd rg 
Setzen wir schließlich noch Q = rsinO aus (4) ein, so kommt 
in anderer Anordnung der Glieder die gesuchte Formel heraus: 
1 
U - _1 
dr* 
Da übrigens 
c d 2 u 2 du 
/3 '~r\ 9 1 ~ r\ | 
'* r er 
d 2 u 1 d 2 u cos 0 du 
r*sin 2 0 dtp 2 ' r* dd 2 r*sin0 dd 
und 
d 2 (ru) 
dr 2 
d l du \ d z u ndu 
= Tr\ r *r +U )~ r l^+ 2 Tr 
d 2 u 
du 
l . * du\ . n d 2 u , a du 
{ sme 3e) = sm9 -JF + cosä de 
d 2 u 
du 
dd 
ist, kann man auch schreiben: 
Hfl) 
2C d 2 (ru) . 1 
r 2 S = r ~- 3 - + 
d 2 u 1 
8in*0 dtp 2 sin 0 
dr* 1 8in*0 dtp 2 ' sin 0 dd 
Bei den Anwendungen ist es oft zweckmäßig, 
y = cos 6 
als Veränderliche statt 6 einzuführen. Da dann 
du 
dd d [idd 
du du • n du 
= — sm 0 
, . /i d u / .ä o\ d u 
Tv’ also 
ist, folgt: 
Ä ( 8in 6 ff) - - sin 9 h ( sin 6 ff) = sin e h [ {1 ~ ^ 13 ’ 
so daß kommt: 
2 S-~ 
IV1 _ „2\ ^1 
d 2 (ru) 
1 d 2 u d