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Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
99. Allgemeine Einführung neuer unabhängiger 
und neuer abhängiger Veränderlicher. Ein in gewissem 
Sinne allgemeines Transformationsproblem ist das folgende: 
Es seien x lf x s , ... x n die unabhängigen Veränderlichen 
und y lr y 2 , . . . y rn von ihnen abhängige Veränderliche. Ferner 
sei V eine Funktion der x, der y und der partiellen Ableitungen 
der y nach den x bis zu einer beliebigen Ordnung. Nun sollen 
n-\-m neue Veränderliche %,%>••• y m angeführt 
werden, indem die x und y gleich n + m voneinander unab 
hängigen gegebenen Funktionen der | und rj gesetzt werden: 
(1) = «Pißi, • • • S B , Vit • • • Vm) (i = 1, 2,... »), 
(ß) Vk = Vit • • Vm) $ = 1,2,... m). 
Diese Gleichungen haben nach Satz 3 von Nr. 79 Auf 
lösungen nach den | und rj: 
(3) y lt ... yj (J =1, 2,.. »), 
(4) % = WtiXu ...x n ,y if ... yj (1 = 1,2,... m). 
Stellen wir uns unter den y irgendwelche Funktionen der 
x vor, so werden die | und rj nach (3) und (4) Funktionen der 
x allein. Wir nehmen insbesondere an, daß auch dann noch 
die n Funktionen (3), die nunmehr x 1} x 3 , ... x n auch in y lf 
y 2 , . . . y m enthalten, voneinander unabhängige Funktionen von 
x if x s , ... x n seien, so daß wir sagen können, daß vermöge (1) 
und (2) oder (3) und (4) solche n -f- m neue Veränderliche \ 
und tj eingeführt werden, von denen wir nunmehr die | als 
unabhängige Veränderliche betrachten dürfen, während die rj 
von den | abhängen. Die soeben gemachte Voraussetzung be 
deutet nach Satz 4 in Nr. 80, daß die Funktionaldeterminante 
der 0 nach den x unter der Annahme, daß die y irgendwelche 
Funktionen der x bedeuten, von Null verschieden sein soll. 
Diese Determinante ist w-reihig und hat als ¿ te ® Glied der j ten 
Zeile dieses: 
(5) 
d*y dy x d$j dy a 
~dx t dy x dx { dy t dx { ^ 
+ 
d *i d v n 
dy m dx { 
Wählen wir z. B. die y gleich Konstanten, so geht die Funk 
tionaldeterminante in die der Größen : dx { über. Wir 
99]