§ 5. Einführung von neuen Veränderlichen 
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einsetzen. Alsdann treten rechts nur die Differentiale d% x , . . . d\ n 
auf, für die wir wieder die Werte (8) substituieren. Nun geht 
eine in dx x , . . . dx n lineare Gleichung hervor, bei der die Koeffi 
zientenvergleichung links und rechts ohne weiteres die ge 
suchten Ableitungen zweiter Ordnung der y nach den x liefert. 
Entsprechend finden wir die höheren Ableitungen. 
100. Die Legendresche Transformation. Es kann 
auch Vorkommen, daß man Größen als neue Yeränderliche ein 
führt, die mit den ursprünglichen Veränderlichen durch Diffe 
rentialgleichungen verknüpft sind. Im Falle einer unabhängigen 
Veränderlichen gibt Nr. 95 ein Beispiel, im Falle zweier un 
abhängiger Veränderlicher wählen wir als Beispiel eine von 
Legendre zuerst benutzte Transformation, die gelegentlich in 
der Theorie der partiellen Differentialgleichungen angewandt wird. 
Verstehen wir unter z irgendeine Funktion von zwei un 
abhängigen Veränderlichen x und y, so werden auch ihre 
partiellen Ableitungen erster Ordnung nach x und y, die wir 
wieder mit p und g bezeichnen wollen, Funktionen von x 
und y sein. Wir können sie daher als neue unabhängige Ver 
änderliche benutzen, sobald sie voneinander unabhängig sind, 
d. h. sobald die Funktionaldeterminante 
dp dp 
d 2 z d 2 z 
dxdy 
dx 2 dxdy 
dq dq 
d 2 z d 2 z 
dxdy 
dxdy dy 2 
d 2 z d 2 z / d 2 z \ 2 
dx 2 W ~ \My) ^ 
ist. Dies wollen wir voraussetzen. Alsdann dürfen wir ferner 
irgendeine Funktion von x, y, z, p, g als neue abhängige 
Veränderliche betrachten, da sie ja als Funktion von x und у 
allein aufzufassen ist, weil z, p und g Funktionen von x und у 
sind. Die Legen dresche Transformation besteht nun darin, daß 
p und g als neue unabhängige und 
u = px -f gy — z 
als neue abhängige Veränderliche dienen sollen. Es handelt 
sich daher darum, die Ableitungen von z nach x und y durch 
p, g, u und durch die Ableitungen von u nach p und g aus 
zudrücken. Die von erster Ordnung sind schon durch 
[99,100