§ 1. Über unendliche Reihen überhaupt 
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Satz 1: Die geometrische Trogression a, ax, ax 2 ,. . . ax n , . . . 
konvergiert dann und nur dann, wenn \x\ < 1 ist. Sie hat als 
dann die Summe a : (1 — x). 
102. Kennzeichen der Konvergenz. Die Summe der 
n ersten Glieder 
S n = U 0 + W 1 + ' ’ • + U n- 1 
einer unendlichen Reihe u ot u 1} ... u nf .. . ist eine Funktion 
des Index n, dessen Yariabilitätshereich der aller ganzen posi 
tiven Zahlen ist. Nach der in Nr. 18 gegebenen Definition 
des Grenzwertes für unbegrenzt wachsende Werte der Veränder 
lichen ist die Aussage, daß die Reihe konvergiert, d. h. eine 
bestimmte endliche Summe S hat, mithin gleichbedeutend mit 
dieser: 
Wird eine beliebig kleine positive Zahl <? angenommen, 
so gibt es stets einen Index n derart, daß 
\S m ~S\<a 
wird für jedes ganze positive m, das mindestens so groß wie 
n ist, d. h. daß für jedes ganze positive p 
\ S n+p — s \ < 6 
wird, insbesondere auch für p = 0: 
\S n -S\<0. 
Hieraus ziehen wir einen Schluß: Nach Satz 2 in Nr. 4 ist 
I(S„ +P —S) - (S„ - S)| ^ I s n+p - S| +! s,- s\, 
so daß folgt: 
(1) • |S„ +i ,-S„|<2«. 
Bezeichnen wir 26 mit t, so sehen wir: 
Wenn die unendliche Reihe konvergiert, gibt es zu 
jeder beliebig kleinen vorgeschriebenen positiven Zahl t einen 
Indexwert n derart, daß die Summe von beliebig vielen aufein 
anderfolgenden und mit u n beginnenden Gliedern u n , 
u , , der Reihe zwischen — r und + t liegt: 
(2) 
*M + 1> 
X < U n -f- U n + 1 + •••-}- u n+p-1 < T - 
Jetzt wollen wir die Betrachtung umkehren. Wir setzen 
nicht mehr voraus, daß die Reihe konvergiere. Dagegen soll 
es zu jeder beliebig klein gewählten positiven Zahl r einen 
[lOl, 102 
* i.-i i. i