§ 4. Reihenentwicklungen nach positiven und negativen Potenzen 210 
§ 4. Reihenentwicklungen nach positiven und negativen Potenzen 210 
^ ^+0 wird. 
111 es ütahaupt 
1 ist. 
f(x) = A (x — xf) n + A t (x — x 0 ) n+ni -f- A 2 (x — x 0 ) n+n i + n * + • ■ ■ 
• ••-)- A k (x — # 0 ) n + ni + ” 2+ "" l "”* + R k , 
wo dann noch eine Funktion von x als Rest R k übrig bleibt. 
Dies ist eine Entwicklung nach steigenden Potenzen von x — x 0 , 
da n 1; n 2 , n 3 , ■ ■ ■ n k sämtlich positiv sind; aber die wachsenden 
Exponenten 
endlichen 
*■ W ff tonnen 
n: 
n, n -f- n^ , n -J- n k -j- Mg, . . . tl -f- n k -j- ^2 "F ■ ’ " “k 
können sehr wohl negative Zahlen sein, weil n negativ sein 
kann. Sie brauchen auch keine ganzen Zahlen zu sein. 
Hnmeiffl ist 
um. Ist k >0, 
nnd wird dort 
» hat fix) fit 
t unendlich pj 
Hieraus ergibt sich eine endlose Entwicklung der Funktion 
f(x) nach steigenden Potenzen von x — x 0 , wenn dasselbe Ver 
fahren auch auf den Rest R k anwendbar ist und lim R k = 0 
wird für lim 7c = oo. 
128. Beispiel. Zur Erläuterung betrachten wir die 
Funktion 
f(x) = ]/sin x — sin x 0 , 
d tob M rer- 
» ist fjthl 
Null hat. Wirf 
die für x = x 0 den Grenzwert Null hat und nicht nach dem 
Taylorschen Satze entwickelt werden kann, weil f'(x) für 
x = Xq unstetig ist. Die Quadratwurzel bähe hier wie im 
io ergibt sich 
folgenden das Pluszeichen. Da für jedes x die Taylorsche Ent 
wicklung 
dl ffirschieden 
leder den Gr® 
ch Noll in der 
x — x 0 . (x — x 0 ) 2 (x—x n ) 3 . 
sm# — sin.r 0 = cos# 0 1 , — sm # 0 -— cos x 0 ~-f 
. . (x — x o y . (x — x 0 ) 5 
+ sm x 0 - --^- + cos# 0 5 , 
gilt, so folgt: 
ist, BSf. W 
i 1 ' 
lim - — ]/cos x 0 = A. 
x = .r 0 yx — x 0 
Also verschwindet f(x) für x = x 0 in der Ordnung n = 
Nun ist die Funktion /j (x) = f(x): )/# — x 0 zu bilden und 
zu untersuchen, in welcher Ordnung die Differenz 
nwtner 
fi 0) — A=* -yS= - 1/cos # 0 
yx — x 0 
für x = x Q gleich Null wird. Sie läßt sich so schreiben: 
[137, 138