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220 Kap. V. Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen 
f,(x)-A 
l/ • a — x„ (x — x o y . ,/ 
= 1/ COS x 0 — Sin x 0 — 2 , - — COS x 0 gj— H ycos x 0 
x — x 0 (X — x o y 
— Sin X n —~ - — COS X n .tP + 
0 2! 
V' 
Hieraus folgt 
x — x 0 
cos x 0 — sin x 0 —-—— 0 
0 31 
(x — x 0 ) a . . ,/ 
— cos x 0 —rr— H h ycos a: 0 
' si "^ , 
x = r 0 x x o 4 Fcosa^ 
so daß die Zahl n x in (4), Nr. 127, gleich Eins ist. Nunmehr 
kommt: 
fi(x) = №=Ä. 
Jetzt ist zu untersuchen, in welcher Ordnung die Differenz 
f 2 (x) — ylj für x = x 0 gleich Null wird, usw. Die Entwicklung 
von f'(x) beginnt folglich so: 
]/sin x — sin x 0 = ]/cos x 0 ]/x — x 0 — } 4 in ^°= Vx — x Q -f- , 
ycos x 0 
wo der Rest ist: 
(/•,(,)+-£*=). 
\ 4|/cO8X 0 / 
Schneller kommt man in diesem Beispiele zum Ziele, 
wenn man x — x 0 = £ 2 setzt, denn dann wird die Funktion 
f(x) = z j/cos ir 0 — sin x 0 ~ — 
COS ‘ r 0 tt + sin ^0 ! . + 
3! • 0 4. 
nach ganzen positiven Potenzen von z nach dem Maclaurin- 
schen Satze entwickelbar, und zwar treten nur die ungeraden 
Potenzen von z auf, so daß sich eine Reihe ergibt von der 
Form: 
f\x) = a x z + a 3 z* + a b z 5 + • • • + a in _ x z in - 1 -f J? 2 „ +1 . 
Mithin ist f(x) so darstellbar: 
ysin x — sin x 0 = yx — x 0 [rtj -f a s (x — :r 0 ) + a b (x — x 0 Y + • • 
■ ‘ rt 2n-l (‘ l ’ *^0) 1 1 ]"h-^Sn+f 
Auf die Berechnung der Koeffizienten gehen wir nicht 
näher ein. 
128]