§ 5. Bestimmung von Grenzwerten 225 
' ^weisen, 
4 
' ,y h 4j, 
X )*ir»gibt 
'«eujoml, 
Da 0 aber beliebig klein gewählt worden war, bedeutet dies: 
lim — A 
oder wegen Gleichung (2): 
lim «») _ lim rW . 
‘Wö werden: 
b) Ist dagegen 
r , 
d™^'w = + 00 ’ 
so kann man n so groß wählen, daß für x > n 
mwvt 
fto > N 
F'(x) ^ 
1 kleine posita 
rt hfl nickt ni 
wird, wo N eine beliebig große vorgeschriebene Zahl bedeutet. 
Alsdann liefert die Gleichung (1): 
i f( x i) 
f(x) fix) ^ Ar 
F(x) F{xf) ^ 
Fix) 
jetta gröÜere t 
und durch Übergang zur Grenze für lim x = -f- oo: 
lim f Jf*\ > N, 
d. h.: 
i • f( x ) , v f № 
lim AüA = + oo = lim -—r-r • 
*=+»^(«) * = +=0^ (*) 
j. f. 
wihreml ij W 
c) Ist schließlich 
r f Ü) 
lim 4-tVw = — oo, 
so verfahren wir wie unter b, nur ist > N durch < — N zu 
ersetzen. 
JH 
¥ 
Der Beweis des Satzes 27 für lim x Q = — oo ist natürlich 
ganz entsprechend zu führen. 
Um nun den Satz für den Fall zu beweisen, daß x 0 einen 
endlichen Wert hat, setzen wir x = x Q -+- 1:z. Für lim 0 = + oo 
ist dann lima: = tr 0 , und daher gibt das Vorhergehende: 
Serret- Schef f era, Diff.- u. Integr.-Keclm. I. 6.u.7.Aufl. 15 [130