Nach Satz S 
Nr $ ergab: 
ü Ableitungen für 
ufl dritter Orte? 
Folglich, bat k 
D dtiii Grenzwert.. 
Inches 
Ableitungen i 
I 
§ 5. Bestimmung von Grenzwerten 227 
sind für x = 1 gleich 2 und 1. Folglich ist der Grenzwert 
des Bruches für lim x = 1 gleich 2. 
d. Beispiel: Wenn in dem Bruche a x : x n die Konstante 
a > 1 und n eine ganze positive Zahl ist, werden Zähler und 
Nenner unendlich für lim # = -(-00. Nach Satz 27 von 
Nr. 130 ist also 
t a x a^lna 
lim —- = lim - 
x = +00 X 
x = -f 00 n X 
Auch in dem Bruche rechts werden Zähler und Nenner un 
endlich für lim #= + 00. Wendet man auf ihn wiederholt 
dieselbe Regel an, so erhält man, indem man bis zur w ten Ab 
leitung vorgeht: 
lim 
X = + 00 
= lim 
X= + a. 
: (ln a) 
n! 
= -f 00. 
Man sagt deshalb: Die Exponentialfunktion a x wird für a > 1 
und lim x = -j- 00 von höherer Ordnung unendlich als jede posi 
tive Potenz von x (vgl. Nr. 127). 
5. Beispiel: Ist a > 1 und n eine positive ganze Zahl, 
so werden Zähler und Nenner des Bruches 
gleich Null für lim# = 0, sobald sich x der Null abnehmend 
nähert. Setzen wir x = 1 : z, so kommt: 
1 
lim 
2 = 0 
lim — • 
Z — 00 Ct 
Da x abnehmend zu Null werden soll, also positive Werte 
hat, ist hier lim z=-\-oo zu nehmen. Nach dem vorigen 
Beispiele ergibt sich der Grenzwert Null. Wenn dagegen x 
wachsend zu Null wird, hat der Bruch den Grenzwert -f- 00, 
weun n gerade, und — 00, wenn n ungerade ist. 
6. Beispiel: Ist cc eine positive Zahl, so werden Zähler 
und Nenner des Bruches 1 w x : x a unendlich für lim#=-f-oc. 
Es kommt: 
1 
. ln X ! . X , • 1 n 
lim = lim —7 == lim = U. 
a: = + üo fli x~ -\-oo CC X x = 4- 00 (X X 
15* 
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