228 Kap. Y. Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen 
Man sagt deshalb: Der Logarithmus von x wird für lim x = + oo 
von niedrigerer Ordnung unendlich als jede positive Potenz von x. 
Ebenso ist: 
l 
x 
x = 0 X x—0 — OCX 
Man sagt daher: ln x wird für lim x — 0 von niedrigerer Ord 
nung unendlich als jede positive Potenz von 1: x. Natürlich muß 
hier angenommen werden, daß x abnehmend zu Null wird, da 
ln x nur für positives x definiert ist. 
7. Beispiel: Eine Ordnung des Unendliehwerdens der 
Funktion x n \s.x für lim #=-fco ist nicht vorhanden, wenn 
n eine positive Zahl bedeutet. Die Ordnung läßt sieh durch 
keine Zahl ausdrücken und ist doch nicht gleich oder kleiner 
als n und nicht größer als irgendeine Zahl, die n übertrifft. In 
der Tat, dividiert man die Funktion mit x r , so ist 
x n ln X 
gleich Null für r > n, dagegen unendlich, wenn r gleich oder 
kleiner als n ist. 
i 
8. Beispiel: Die Funktion f(x) = e verschwindet 
für x = x 0 , denn der Exponent wächst für lim x = x 0 absolut 
genommen über jeden Betrag. Man erhält für die Ableitung 
und dieser Wert ist für lima: = ;r 0 nach dem 5. Beispiele gleich 
Null. Aus der Differentiation der Gleichung 
f {x) {x — ir 0 ) 8 = 2e (*-- r o) s 
folgt weiter: 
und hieraus, daß auch f"(x 0 ) = 0 wird; ebenso erkennt man, 
daß alle höheren Ableitungen für lim x = x 0 verschwinden. Hier 
von wurde schon gelegentlich in Nr. 115 Gebrauch gemacht. 
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