§ 5. Bestimmung von Grenzwerten 
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132. Bestimmung' des Grenzwertes eines Bruches 
durch Reihenentwicklung. Die Sätze von Nr. 129 und 130 
führen die Untersuchung des Grenzwertes des Bruches f(x) : F(x) 
für den kritischen Wert x = x 0 auf die Bestimmung des Wertes 
zurück, den der Bruch f'(x) : F'(x) annimmt. Dabei kann es 
indessen eintreten, daß dieser zweite Bruch dieselben Schwierig 
keiten wie der erste bietet. Man kann dann den Grenzwert 
finden, sobald die Funktionen f(x 0 -f li) und F(x 0 -\-h) in Reihen 
entwickelbar sind, die nach steigenden positiven oder negativen, 
ganzen oder gebrochenen Potenzen von h geordnet sind. In 
diesem Falle genügt es nämlich, das erste Glied Ah n der einen 
Reihe und ebenso das erste Glied Bh m der anderen zu be 
stimmen, denn alsdann hat man 
f(xo h) = Ji n (A -|- g), F(x q + F) = Ä“(B + rf), 
wobei e und 1] mit h verschwinden, also: 
f(x<> + ti) 
Fix o + h) 
Ist n = m, so kommt 
lim 
= lv 
fix) 
<.-m fYYl 
B + n 
A 
B ’ 
,=x 0 Fix) 
während der Grenzwert gleich Null oder Unendlich ist, je 
nachdem n > m oder n < m ist. 
133. Beispiele. 
1. Beispiel: In dem Bruche 
fix) = j/x—J/xq AVx — x 0 
Fix) yx*-xA 
werden Zähler und Nenner gleich Null, wenn x abnehmend 
zu x 0 wird und die Wurzeln mit dem Pluszeichen berechnet 
werden; man erkennt, daß alle Ableitungen für lim x = x 0 
unendlich werden. Setzt man x = x 0 -\-h, so wird Yx— x Q =Yh 
mit h gleich Null in der Ordnung dagegen Y x — Y x o = 
= y^(]/l Ah:x Q — l) mit h gleich Null in der ersten Ordnung, 
wie man durch Anwendung der binomischen Reihe von Nr. 125 
erkennt. Also ist f(x Q -f F) = ]/%(l -f e), wo s mit h gleich 
Null wird. Der Nenner F(x) wird gleich ]/^]/2ir 0 + h, so 
[i3a, 133