232 K^P- V. Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen 
lim ln (l + —= lim 
m = oo V 
also 
x 
m 2 
( 1+ i) ( _ i) 
! im ( 1+ mT“ Cr ' 
lim — = x, 
m=oo ! . A 
' m 
Die transzendente Funktion e* ist also die Grenze eines 
Ausdruckes, der eine algebraische, ja sogar eine ganze Funktion 
m ten Grades ist, wenn man m unbegrenzt wachsen läßt. Man 
kann hiernach schreiben: 
<f -( 1 + iir) + e > 
wobei s eine Größe bezeichnet, die verschwindet, wenn m un 
endlich wird. Hieraus folgt: 
x = m (j/e x — £ — 1). 
Es ist aber nach Nr. 125: 
- y* (1 - - V? (1 “ «" + • • j. 
sobald \m\ hinreichend groß ist, also: 
mW=~s = m "y e? -f- *], 
wobei rj für lim m = oo verschwindet; mithin kommt: 
x = m (Ye x — 1) -J- rj. 
Schreibt man x an Stelle von e* und folglich ln.r an Stelle 
von x, so ergibt sich: 
ln x = in (yx — 1) -f rj 
oder: 
ln x =*= lim m ['yx — 1). 
in = oo 
Mithin ist auch die transzendente Funktion ln x die Grenze 
einer algebraischen Funktion von x. 
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