234 Kap. V. Entwicklung der Funktionen in l’otenzreiben 
gewonnen werden kann. Insbesondere für t— 0 wird U—u, 
so daß der Wert von d n U: dt n für t = 0 aus der Potenz 
(Jiu x -|- lcu y 4 lu, + • • •) 
gewonnen wird. Nach Satz 24 von Nr. 116 ergibt sich also: 
U= u 4 (J iu x + ku y 4 lu, H ) 4 {hii x + ku y -f lu, 4 j 2 «^ 4 
r {hu x 4 ku y lu, + • • • } n 1 4 R n ) 
wo wir durch geschweifte Klammern andeuten wollen, daß die 
Potenzen symbolisch aufzufassen sind, d. h. daß nach ihrer Aus 
rechnung jedes Produkt 
u u u y .. . durch 
x y z 
d «+P + Y+-- u 
dx u dy !i dz Y ... 
ersetzt werden soll. 
Der Best B n ist in der Layrangeschen Form gleich dem 
Produkte von t n :n\ mit dem Werte, den d' l U:dt n annimmt, 
wenn darin t durch dt ersetzt wird, wo 0 einen positiven 
echten Bruch bezeichnet. Also wird: 
t n 
(hu x 4- ku -f lu, 4- • • •} 
x + hOt, y + i 0 <, 3 + l0t,... f 
wo die Indizes x-\-hOt usw. anzeigen, daß x durch x 4 hOt, 
y durch y 4" kOt usw. ersetzt werden soll. 
Schließlich ergibt sich für t = 1 als Verallgemeinerung 
des Satzes 19 von Nr. 112, wenn man bedenkt, welche Bedin 
gungen für das Vorhandensein der höheren Ableitungen nach 
Nr. 68 bestehen, der 
Satz 28 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz): Ist eine 
Funktion u von x, y, z . .. mit ihren partiellen Ableitungen bis zu 
denen von der n teH Ordnung einschließlich für alle Werte der Ver 
änderlichen in dm Intervallen von x bis x 4 h, von y bis y 4 k, 
von z bis z + l usw. stetig, so gilt die Entwicklung: 
u{x 4-h, y + k, z 4 l,...) — u(x, y, z,...) 
4- p-j (hu x 4 ku y -Mw, H ) 4- — {hu x 4 ku y 4 lu z 4 • • •} 2 4 
'” + (^1)! i hu x +k% + lu, + + R n , 
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