§ 6. Der Taylorsche Satz f. Funktionen v. mehreren Veränderlichen 235 
ivobei der Best B n in der Form darstellbar ist: 
B. 
hu x Äw -(- lu z -f- 
n 
x + dh, y + 6Jc, z + Ol, • • • 
Dabei bedeuten die Indizes x + Oh, y -f Ok, z A 01, ... , daß 
in der Bestformel x, y, z usw. durch diese Werte ersetzt werden 
sollen. 6 stellt einen gewissen positiven echten Bruch vor. Die 
Botenzen der geschweiften Klammern sind nur symbolisch zu 
verstehen, d. h. es soll allgemein 
{hu x + hu y + lu z H ) m 
derjenige Ausdruck sein, der aus der ausgerechneten m ten Potenz 
hervorgeht, wenn darin allgemein das Produkt 
u a uf u y . . . durch u a a y 
X y Z X™ yr Zf • • • 
ersetzt wird. 
Man kann sofort hinzufügen: 
Satz 29 (Verallgemeinerter Taylorscher Satz): Sind 
die Voraussetzungen des vorigen Satzes für alle Ableitungen von u 
überhaupt erfüllt und ist für alle positiven echten Brüche 0 
lim B n = 0, 
n = co 
so ergibt sich für u(x -f h, y + k, z l,. . .) eine konvergente 
und nach ganzen positiven Potenzen von h, k, l,. . . fortschreitende 
unendliche Beihe 
u(x + h,y + k,z + l,...) = u{x,y,z,...) + jy (hu x +ku y + lu,+- • •) + 
+ 2 | {l lU x + k U y + l u z + ' ' *} 2 + ' ‘ ‘ • 
Wegen A u — u (x -}- h, y k, z l, ■ u (x, y, z, . . .) 
läßt sich diese Formel auch so schreiben: 
. du , d 3 u , d s u , 
Au = TT + ir + tt + 
denn die Potenzen in der Reihe sind die vollständigen Differen 
tiale von u, sobald h,k,l, . . . die Differentiale von x, y, z,. . . 
bedeuten. Diese Formel ist eine Verallgemeinerung der letzten 
Formel in Nr. 114. 
Satz 28 gibt z. B. für eine Funktion F{x, y) von zwei 
Veränderlichen die Entwicklung: 
[18V