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236 Kap. V. Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen 
F(x + h, y + h) = F(x, y) + f i ( Il Yx+ lc J^) 
. 1 /?!d*F . OI 7 d*F . 7 . 2 d'F\ . 
+ (Ä "5—« f" 2 /i /C „ o 4" 3—g* ) "f" 
' 2 ! \ da* dxdy dir) 
n — 1 
dx*-'dy + +i- Sy»-'/ + 
+ ^( | 
(«—1)! \ äa;* -1 ^ 1 dx n ~*dy 1 1 ay" 
wo J2, der Wert ist, der aus 
71 / 
w! \ dx 1 
»k» — i) Ä ,_ 
2,2 dnF 4- 
v dx n ~*dy* 
i Ln 3*F\ 
+ Ai ay/ 
a# n_1 ay 1 1-2 
hervorgeht, wenn x bzw. y durch x -f Oh bzw. y-\-0k ersetzt wird. 
138. Der verallgemeinerte Maclaurinsclie Satz. 
Um die Maclaurinsche Formel für eine Funktion von mehreren 
Veränderlichen zu bilden, setzen wir in den Gleichungen der 
Sätze 28 und 29 für x, y, z, . . . den Wert Null und schreiben 
an Stelle von h, k, l, . . . die Größen x, y, z, . . .. Drücken 
wir dann durch den Index 0 aus, daß die Größen x, y, z. . ., 
soweit sie in den Ableitungen von u auftreten, den Wert Null 
erhalten sollen, und durch die Indizes 6x, Oy, Oz, . . daß sie 
diese Werte annehmen sollen, so erhalten wir symbolisch: 
«-«o+ri[* (fs),+y +* (§*), + ' ‘ ] 
. 1 I du du du ^2 
« — + yä^ + «3T + 
dx 
dy 
dz 
. 1 f du . du du . 
+ fr=w\ x di + y Vy + l! Zi + 
und 
dy 
dx 
. du . du 
+ Vö b ¿5 b 
J dy dz 1 
O.r, fl;/, fl*, 
Es erübrigt wohl, den verallgemeinerten Madaurinschen 
Satz besonders zu formulieren. 
139. Der Eulersclie Satz über homogene Funk 
tionen. Dieser Satz wurde schon in Nr. 91 bewiesen; da er 
von großer Bedeutung ist, wird es nicht überflüssig sein, hier 
noch einen anderen Beweis zu geben. 
Es sei f eine homogene Funktion w ten Grades von den 
n Veränderlichen x lf x i} ... x n . Multipliziert man alle Veränder- 
137, 138, 139]