§ 1. Funktionen von einer Veränderlichen 
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nämlich Null, hat. An dieser Stelle x = a wird aber f (x) 
nicht gleich Null; der Zeichenwechsel von f\x) kommt viel 
mehr dadurch zustande, daß f'(x) für x = a unstetig ist und 
zwar für bis a zunehmendes x den Grenzwert — oo, dagegen 
für bis a abnehmendes x den Grenzwert + oo hat. 
142. Notwendige und hinreichende Bedingungen 
für Extremwerte. Wenn eine Funktion f(x) in einer Um 
gebung einer Stelle x 0 stetig ist und bestimmte endliche Ab 
leitungen bis zu derjenigen Ordnung hat, die im folgenden 
noch gebraucht wird, können wir zu der in Nr. 140 gewonnenen 
notwendigen Bedingung des Maximums oder Minimums an der 
Stelle x 0 , nämlich zu der Bedingung f'(x 0 ) = 0, leicht hin 
reichende Bedingungen hinzufügen. 
Um sofort den allgemeinsten Fall ins Auge zu fassen, wollen 
wir annehmen, es sei x 0 ein Wert von x, für den nicht nur 
f'(x 0 ) = 0 ist, sondern überdies die zweite, dritte usw. Ab 
leitung von f(x) gleich Null wird bis zu einschließlich der 
(n — l) ten , dagegen sei f( n \x 0 ) =4= 0. Übrigens stellt n = 2 die 
jenige Annahme vor, die zumeist eintreten wird, weil ja im 
allgemeinen, wenn f(x) für x — x 0 verschwindet, nicht auch 
f"(x) für x = x 0 zu verschwinden braucht. 
Bei unseren Voraussetzungen gilt nun nach Satz 19 von 
Nr. 112 in der Umgebung der Stelle x Q von x 0 — 6 bis x 0 -f- 6 
für jeden Wert von h zwischen — <? und -f- a die Formel: 
j, n 
0 + h ) = f(?o) + f {n K X o) ^ + R n+U 
worin der Rest B n + i nach Satz 22 in Nr. 115 dadurch, daß 
man 6 genügend klein wählt, absolut genommen kleiner als 
das vorhergehende Glied gemacht werden kann. Dies bedeutet, 
daß die Differenz 
f(x 0 + h) - f(x 0 ) = f^(x 0 ) ~ + R n+1 , 
wenn das Intervall von x 0 — 6 bis x Q -j- 6 genügend eng ge 
wählt wird, dasselbe Vorzeichen wie das erste Glied rechts 
für jedes h zwischen — 6 und -f- 6 hat. 
Ist nun der Index n gerade, so wird h n für negatives 
und positives li stets positiv, d. h. dann hat f(x 0 + h) — f(x 0 ) 
S erret-S cheffers, Diff.-u. Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl. 16 [141,148