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Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima 
gebenen Stelle A des ersten Raumes nach einer gegebenen 
Stelle E des zweiten Raumes gelangt. Die Wege sind in 
jedem der beiden Räume augenscheinlich geradlinig. Daher 
wird ein Punkt G auf der Ebene E so gesucht, daß die 
Strecke AG, dividiert mit a, und die Strecke GE, dividiert 
mit ß, die kleinste Summe geben. Legen wir durch A und 
E die Ebene senkrecht zu E, so wird sie E in einer Geraden 
CE schneiden. Bedeutet L den Fußpunkt des Lotes von G 
auf CE, so ist die Hypotenuse AG des rechtwinkligen Drei 
ecks ALG länger als die Kathete AL und die Hypotenuse 
GE des rechtwinkligen Dreiecks GLE länger als die Ka 
thete LE. Daher muß der gesuchte Weg notwendig in jener 
Vertikalebene ACEE liegen. 
Mitbin handelt es sich darum, einen Punkt H auf CI) 
so zu finden, daß AH:a + HE:ß ein Minimum wird. Es 
sei AC = a, EE=b, CE = c. Ferner sei H zunächst be 
liebig auf CE gewählt, so daß CH = x zu setzen ist, positiv 
genommen etwa im Sinne von C nach E, während a, b, c posi 
tive Konstanten sind. Alsdann ist A H = ]/x* -f a 2 und HB 
= |/(c—x) 2 -\-b“, so daß also das Minimum der Funktion 
y = +« 2 + j Vl c ~ 
gesucht wird. Dabei sind die Wurzeln ebenso wie a und ß 
positiv. Diese Funktion y von x ist überall stetig. Es kommt 
ferner: 
/ \ _ X C — X 
y a]/a: s -f a s ßV( c — #)*+ír , 
so daß auch y' überall stetig ist. Nach Satz 1 von Nr. 142 
muß x so gewählt werden, daß y = 0 wird. Wenn wir die 
Wurzeln durch Quadrieren entfernen, ergibt' sich demnach für 
das gesuchte x die Gleichung vierten Grades: 
ß 2 x 2 (c — x) 2 -f ß 3 b 2 x 2 — u 2 x 2 (c — x)*— a 2 a 2 (c — x) 2 = 0. 
Da sie durch Beseitigung der Wurzelzeichen hervorgegangen 
ist, gehören jedoch zu ihren Lösungen x auch diejenigen 
Werte, für die der Ausdruck (1) gleich Null ist, sobald die 
darin auftretenden Wurzeln irgendwelche Vorzeichen haben. 
Demnach sind nicht alle Lösungen der Gleichung vierten 
Grades brauchbar.