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Kap. I. Einleitende Begriffe 
Die Bildpunkte der ersten Art liegen sämtlich links von denen 
der zweiten Art, und die von p n und q n liegen, wenn man n 
hinreichend groß wählt, so nahe beieinander, daß ihr Intervall 
ln ~ Pn kleiner als eine beliebig kleine gegebene Strecke 6 wird. 
Nach dem Axiom von der Stetigkeit der geraden Linie gibt es 
mindestens einen Punkt auf der Geraden, der rechts von den 
Bildpunkten aller p n und links von den Bildpunkten aller q n 
liegt. Es kann nicht mehr als einen geben. Denn man kann 
ja das den Punkt einschließende Intervall q n — p n kleiner 
machen als das Intervall zwischen zwei noch so nahe beiein 
ander liegenden Punkten. Der also einzig vorhandene Punkt, 
der rechts von den Bildpunkten aller p n und links von denen 
aller q n liegt, heißt der Bildpunkt der ins Auge gefaßten irra 
tionalen Zahl. Oder auch: Die Strecke von 0 bis zu diesem 
Punkte heißt das Bild der irrationalen Zahl. 
Wählen wir umgekehrt irgendeinen Punkt P auf g, der 
kein Bildpunkt einer rationalen Zahl ist, so gibt es zwei 
ganze Zahlen a und a -f 1, deren Bildpunkte den Punkt P 
einschließen. Wir teilen das Intervall zwischen ihnen in zehn 
gleiche Teile. In einem der Teilintervalle muß P liegen, etwa 
in dem (b + l) t6n . Dann teilen wir dies wieder in zehn gleiche 
Teile; nunmehr liege P im (c -f l) ten dieser noch kleineren Inter 
valle. Pahren wir so fort, so ergeben sich Schritt für Schritt 
die Ziffern a, b, c, . . . eines endlosen Dezimalbruches 
. b . c . 
it + Td + iöö + 
der eine irrationale Zahl vorstellt, und zwar diejenige, deren 
Bildpunkt P ist. 
Die Gesamtheit aller reellen Zahlen und die Gesamtheit aller 
von einem Nullpunkte 0 einer Geraden g ausgehenden Strecken 
auf der Geraden lassen sich daher so aufeinander beziehen, daß 
jeder reellen Zahl eine Strecke und jeder Strecke eine reelle Zahl 
entspricht. Der Rangordnung der reellen Zahlen entspricht dabei 
die Anordnung der Endpunkte der Strecken. 
Hiermit ist für alle reellen Zahlen ein Maßstab hergestellt, 
dessen Längeneinheit die Strecke OE ist. 
4. Der absolute Betrag. Die reellen Zahlen, abgesehen 
von der Null, sind positiv oder negativ. Unter dem absoliden 
3,4]