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Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima 
Die erste Bedingung des Maximums oder Minimums von y in 
Satz 1, Nr. 142, verlangt, daß y — 0 werde. Sie lautet also: 
(3) f. » 0. 
Man hat daher ein Wertepaar x, y zu bestimmen, das den 
beiden Gleichungen (1) und (3) genügt. Wir sehen dabei von 
solchen Werten x, y ab, für die auch f gleich Null ist. 1 ) 
Um zu entscheiden, ob ein Wertepaar x, y, das den beiden 
Gleichungen (1) und (3) genügt, wirklich zu einem Maximum 
oder Minimum von y führt, müssen wir nach Satz 1 von Nr. 142 
die zweite Ableitung y" von y nach x berechnen. Vollständige 
Differentiation von (2) nach x gibt: 
fxx+ ^fxyy' + f vy y' 2 + f v y"- 0 - 
Da für das zu betrachtende Wertepaar y = 0 ist und f nicht 
verschwindet, wird nun: 
W r—fy- 
Ty 
Ist dieser Wert positiv, so liegt ein Minimum von y vor, ist 
er negativ, so liegt ein Maximum von y vor. Ist er gleich 
Null, so hat man nach Satz 1 von Nr. 142 die höheren Ablei 
tungen von y nach x zu berücksichtigen, um zu einer Ent 
scheidung zu kommen. 
150. Beispiel. Wir suchen die Maxima und Minima 
der durch 
y z — 3 axy + x 3 = 0 
bestimmten Funktion y von x. Dabei soll a eine positive 
Konstante bedeuten. Hier ist 
also: 
f= y 3 —3axy + x s , 
fx — 3 (y — ay), f 9 = 3 (y 8 — a x). 
Die Bedingungen (1) und (3) der vorigen Nummer lauten also: 
y s — 3qxy -f x* — 0, .r 8 — ay = 0. 
Wird y = x 2 : a aus der zweiten Gleichung in die erste ein 
gesetzt, so kommt x z (x 3 — 2a 3 ) = 0, so daß 
1) Auf derartige singuläre Wertepaare .r, y werden wir bei der 
Besprechung der Kurven in der Ebene zurückkommen (in § 3 des 7. Kap.). 
149, 150]