§ 1. Von den Zahlen
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Betrage einer positiven Zahl versteht man die Zahl selbst,
unter dem absoluten Betrage einer negativen Zahl dieselbe
Zahl, aber versehen mit dem Pluszeichen. Der absolute Be
trag einer von Null verschiedenen Zahl ist also stets positiv
und von Null verschieden; man sagt auch: Er ist der Wert
der Zahl, abgesehen vom Vorzeichen, oder die absolid genommene
Zahl. Unter dem absoluten Betrage von Null versteht man
Null selbst. Den absoluten Betrag einer Zahl a bezeichnet
man mit \a|. Es ist also z. B. |7| = | — 71 = 7. Ohne wei
teres leuchtet ein:
Satz 1: Der absolute Betrag eines Produktes ist gleich dem
Produkte der absoluten Beträge der Faktoren:
\a x a 2 as • • • »«I = Kl • Kl • K • • • Kl-
Der Satz über den absoluten Betrag einer Summe ist
jedoch nicht so einfach, aber von größter Wichtigkeit:
Wenn nämlich eine Reihe von positiven oder negativen
Zahlen a t , a 3 ,. .. a n vorliegt, ist die Summe a x + a 2 + • • • + a n
entweder positiv oder gleich Null oder negativ. In den beiden
ersten Fällen ist sie ihrem absoluten Betrage gleich, im letzten
dem entgegengesetzten Werte. Also ist entweder
+ a 2 + ‘ ‘ ‘ + a n = I a i + a i + • ’ • + i
oder
— a x — a 2 — • • • — a n — \a 1 -f- a 2 -f • • • -f- a n \.
Sowohl a x als auch — a x hat den absoluten Betrag | a t \, ebenso
a 2 und — a 2 den absoluten Betrag | a 2 | usw. Die linken Seiten
werden nun höchstens vergrößert, wenn man a x , a 2 , . . . a n
oder — a t , — a 2 , • • • — a n durch ihre absoluten Beträge ersetzt,
weil die Zahlen selbst ihren absoluten Beträgen höchstens
gleich, aber sicher nicht größer als sie sind. In jedem Falle
ist daher:
|»i| -f Kl U ' ■ ■ U K ^ a i + a 2 "t" ■ ’' "F o> n |•
Gleichheit tritt nur dann ein, wenn keiner der Summanden
a u a 2 , . . . a n bzw. — a 1} — a 2 , • • • — a n dadurch, daß man ihn
durch seinen absoluten Betrag ersetzt, vergrößert wird, d. h.
wenn sie sämtlich positiv sind, mit anderen Worten, wenn
a t , a 2 , ... a n entweder sämtlich positiv oder sämtlich negativ
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