8 
Kap. I. Einleitende Begriffe 
sind. Mithin ergibt sich, wenn man die letzte Ungleichung 
von rechts nach links liest, der 
Satz 2: Der absolute Betrag einer Summe ist Heiner als 
die Summe der absoluten Beträge der Summanden oder höch 
stens ebenso groß: 
|a t + a, H F a n \ = l®il "b \ a %\ ~b ' ' • + a n\- 
Er ist ihr dann und nur dann gleich, wenn alle Summanden 
dasselbe Vorzeichen haben. 
5. Über Potenzen und Wurzeln. In der Arithmetik 
wird definiert, daß u v , wenn v eine ganze positive Zahl ist, 
gleich dem Produkte von v Faktoren u sein soll, ferner yu 
gleich einer Zahl, die v-mal mit sich selbst multipliziert das 
Produkt u gibt. Dabei wird ein Verfahren gelehrt, wie man 
Ziffer für Ziffer den Wert von jZu als (im allgemeinen endlosen' 
Dezimalbruch berechnen kann. Ist dabei v gerade, so muß 
jedoch u positiv angenommen werden. Potenzen mit negativen 
und gebrochenen Exponenten werden vermöge der Definitionen 
U~ e — U v = yu 
u v 
auf die ursprünglichen Potenzen und Wurzeln zurückgeführt. 
Eine Potenz u v , deren Basis u positiv und deren Exponent v 
rational ist, hat stets nur einen positiven Wert. Zu ihm kann 
übrigens ein negativer Wert hinzutreten; wir beschränken uns 
jedoch hier auf den positiven Wert. Man zeigt: Der positive 
Wert von u v liegt, wenn u positiv und v positiv und rational 
ist, um so näher bei Eins, je Heiner v ist. Insbesondere wird 
u° = 1 gesetzt. 
Die niedere Arithmetik gibt aber keine Definition von u” 
für den Fall, wo der Exponent v irrational ist. Ist v negativ, 
so führen wir U v auf 1 : ui v zurück, wo der Exponent positiv 
ist. Wir haben also noch die Aufgabe, u v für den Fall zu de 
finieren, wo der Exponent v eine irrationale, aber positive Zahl 
ist. In diesem Falle läßt sich u v als irrationale Zahl in fol 
gender Weise definieren, wenn wir noch ausdrücklich voraus 
setzen, daß die Basis u positiv sei: 
Wir brechen den endlosen Dezimalbruch v nach der n ten 
Dezimalstelle ab und erhalten dadurch eine rationale positive 
4, 5]