§2. Von den Funktionen 
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Zahl p n . Wird die letzte Ziffer dieses Dezimalbruches um 
Eins erhöht, so geht eine größere rationale positive Zahl q n 
hervor. Dabei ist q n — p n = 1 : 10”. Nun sind 
Pn qn 'h 
K = U > M 
nach dem Vorhergehenden wohldefinierte positive Zahlen, da 
ihre Exponenten rational sind und die Basis positiv ist. Im / 
Falle u > 1 ist, wenn nach und nach n = 1, 2, 3, . . . gewählt 
wird, 7t i < ?t 2 < jr 3 usw. und ^ > x 2 > j< 3 usw. Außerdem ist 
jedes % kleiner als jedes x. Die Differenz x n — ;t n läßt sich 
so schreiben: 
A0 n s 
*n -x n = x n {yu~l) s 
und ist also wegen n n < x t kleiner als x 1 ' K yu—i). Da die 
hier auftretende Wurzel um so weniger von Eins abweicht, je 
größer n gewählt wird, läßt sich n stets so groß wählen, 
daß die Differenz x n — n n kleiner als eine beliebig klein ge 
wählte positive Zahl <? wird. Nach Nr. 2 definieren mithin die 
Wertereihen jt it jt 2 , jt 3 , . . . und x lf x 2 , x 3 , . . . eine bestimmte 
reelle Zahl, und diese Zahl soll der Wert der Potenz u v sein. 
Ist u < 1, aber > 0, so gelten dieselben Schlüsse, wenn man 
nur die Größen n und x in ihrer Bedeutung vertauscht. 
W T ir mußten u > 0 voraussetzen, weil sonst die Zahlen 
7t„ oder x„ zum Teil gar nicht reell vorhanden wären. Eine 
Potenz mit irrationalem Exponenten wird also nur dann definiert, 
wenn ihre Basis positiv ist, und zwar ist sie dann als eine 
positive reelle Zahl definiert. Es läßt sich nun beweisen, daß 
die gewöhnlichen Potenzregeln auch für solche Potenzen gelten, 
da die Potenzen u Pn und u 9n , die den gewöhnlichen Rechen 
regeln gehorchen, die Potenz u v beliebig eng einschließen. Doch 
gehen wir hierauf nicht näher ein. 
§ 2. Von den Funktionen. 
6. Konstanten und Veränderliche, Funktionen. Die 
Größen, die bei einer mathematischen Untersuchung auftreten, 
sind von zweierlei Art. Unter einer Konstante versteht man 
eine Größe, die während der Untersuchung immer einen und 
denselben Wert behalten soll. Eine Größe dagegen, die sich 
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