Siebentes Kapitel. 
Theorie der ebenen Kuryen. 
§ 1. Kurve, Tangenten und Normalen. 
167. Begriff der ebenen Kurve. Unter einer ebenen 
Kurve verstehen wir den Inbegriff aller Bildpunkte (pc, y) einer 
Funktion y — f{x), die in einem Variabilitätsbereiche der Ver 
änderlichen x überall stetig ist und überall eine bestimmte 
endliche Ableitung f (x) hat. Gelegentlich werden wir noch 
mehr Forderungen an f(x) stellen. 
Unter den gemachten Voraussetzungen gehört zu jedem 
Werte von x innerhalb des Variabilitätsbereiches ein Kurven 
punkt (x, y), ferner bilden alle Kurvenpunkte wegen der Stetig 
keit von f(x) eine lückenlose Kette, und drittens hat die Ge 
rade, die durch einen bestimmt gewählten Kurvenpunkt M 0 
und einen anderen Kurvenpunkt M geht, eine Grenzlage, wenn 
die Abszisse x von M in die Abszisse x 0 von M 0 übergeht. 
Diese Grenzlage ist die Tangente des Kurvenpunktes M 0 , vgl. 
Nr. 27 und 32. 
Es gibt Funktionen y = f(x), die in einem Variabilitäts 
bereiche überall stetig sind und doch nirgends eine bestimmte 
endliche Ableitung haben. Ihre Bildpunkte (x, y) bilden also 
zwar lückenlose Ketten, diese haben jedoch keine Tangenten, 
weshalb wir sie auch nicht als Kurven bezeichnen. 
Wir werden in der Folge öfters kurz sagen, eine in einem 
Bereiche definierte Funktion sei differenzierbar, sobald sie dort 
überall eine bestimmte endliche Ableitung hat. Benutzen wir 
diese Ausdrucks weise, so fassen wir das Gesagte so zusammen: 
Von Funktionen y = f{cc), die Bilder haben sollen, die man 
Serret-Scheffers, Diff.- u. Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl. 19 flCJT