§ 1. Kurve, Tangenten und Normalen 
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V '- S ! ' .0 ;/ "'-h 
Also muß zunächst: 
(3) lim= 9 
X = CO 
sein. Ist dies der Fall, d. h. hat y : x für lim x = oo einen 
bestimmten endlichen Grenzwert g, so setzen wir diesen Grenz 
wert für g in (2) ein; dann ist noch zu fordern, daß auch 
y — gx für lim x = oo einen bestimmten endlichen Grenzwert h 
habe. Daher kommt, wenn wir f(x) statt y schreiben, der 
Satz 1: Erstreckt sich der durch y = f(x) definierte Kurven 
zweig ins Unendliche, indem x bis -f oo oder bis — oo gehen 
darf‘ so hat die Kurve für diesen Grenzwert von x dann und 
nur dann eine Asymptote 
\)~gi + h, 
wenn erstens ein bestimmter endlicher Grenzwert 
lim 
f(x) 
X 
= 9 
und zweitens ein bestimmter endlicher Grenzwert 
lim [f(x) - gx] = h 
für diesen Grenzwert von x vorhanden ist. 
Betrachten wir nun die Tangente des Kurvenpunktes (x, y). 
Sie hat nach (3) in Nr. 169 die Gleichung 
(4) V = y'ic + (y-%y')- 
Wir wollen annehmen, daß ihr für lim x — oo eine bestimmte 
Grenzlage 
(5) 9 = 91 + Ä 
zukomme, daß also 
(6) lim y = g, lim {y - xy) = h 
X = CO X = GO 
sei. Die Frage ist dann, ob diese Grenzlage (5) eine Asym 
ptote der Kurve sein wird, d. h. ob die Bedingung (2) befriedigt 
wird. Da 
y — gx — h = y — xy' -f- x(y — g) — h 
ist, hat man hier: 
lim (p — gx — h) = lim (y — xy') + lim x(y' — g) — h 
x= ca X — ca x= ca 
oder nach der zweiten Formel (6): 
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