§2. Yon den Funktionen 
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liehen x x , x 2 , . . . x n , wenn eine Vorschrift vorhanden ist, die 
jedem bestimmten Wertsystem x x , x 2 , . . . x n , das innerhalb des 
Variabilitätsbereiches von x x , x 2 , ... x n liegt, einen, aber auch 
nur einen bestimmten Wert der Veränderlichen y zuordnet. Als 
dann heißen x x , x 2 , ... x n die unabhängigen Yeränderlichen. 
Die Funktionen y, die wir in der Folge betrachten, werden 
meistens analytisch definiert sein, d. h. mittels Gleichungen, die 
zwischen ihnen und den unabhängigen Yeränderlichen bestehen. 
Eine Funktion heißt algebraisch, wenn die Gleichung, durch 
die sie mit den unabhängigen Yeränderlichen verknüpft wird, 
dadurch hergestellt worden ist, daß man auf alle Yeränderlichen 
und eine Reihe von Konstanten nur die sogenannten algebrai 
schen Operationen angewandt hat, nämlich die Addition und 
Subtraktion, die Multiplikation und Division, die Erhebung in 
Potenzen mit ganzen konstanten Exponenten und die Ausziehung 
von Wurzeln mit ganzen konstanten Exponenten. Da man die 
vorkommenden Wurzeln dadurch entfernen kann, daß man die 
Gleichung in passende Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 
erhebt, und da man ferner durch passende Multiplikationen 
auch alle diejenigen Nenner und negativen Potenzen beseitigen 
kann, in denen Veränderliche Vorkommen, so leuchtet ein, daß 
eine Gleichung, durch die eine algebraische Funktion y von 
x x , x 2 , . . . x n definiert wird, stets, indem man sie nach Po 
tenzen von y ordnet, auf die Form gebracht werden kann: 
X 0 f + ^iV n ~ 1 + X 2 y n ~ 2 • • • + X n _ x y + X n = 0, 
wo X 0 , X x , X 2 , . . . X n nur noch die unabhängigen Veränder 
lichen x x , x 2 , ... x n enthalten, und zwar mit einer Reihe von 
Konstanten nur noch durch die Operationen: Addition, Sub 
traktion und Multiplikation verknüpft. Aber es ist nicht 
sicher, daß, wenn man eine derartige Gleichung nach Belieben 
bildet, auch zu einem beliebigen Wertsystem x x , x 2 , ... x n 
ein reeller Wert von y vorhanden ist. 
Sicher ist dies jedoch der Fall, wenn die Gleichung ins 
besondere vom ersten Grade hinsichtlich y ist: X 0 y -f- X x = 0, 
da sie dann in der Form