§ 2. Homogene Koordinaten 
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176. Beispiel. Ein Kegelschnitt wird bekanntlich ana 
lytisch durch eine Gleichung 1 F(x, y) = 0 gegeben, deren linke 
Seite eine gauze rationale Funktion zweiten Grades in x, y ist. 
Ersetzen wir x und y durch x 1 : x 3 und x 2 : x 3 und multipli 
zieren wir mit x 3 , so ergibt sich, daß ein Kegelschnitt in 
homogenen Koordinaten allgemein durch eine Gleichung von 
der Form 
a xx x x + a 22 x 2~ + « 33 % 2 + 2a 23 x 2 x 3 + 2a 3x x 3 x x -(- 2a 12 x x x 2 = 0 
dargestellt wird. Bezeichnen wir ihre linke Seite mit f, so ist: 
2 fx L = «n% d~ «12% "T «13 %> 
2 fxz ~ «21% d“ «22 % d~ «23 % > 
2\fx 3 ~ «31% d~ «32 % d~ «33 %• 
Eigentlich wäre hierin a 31 statt a X3 , a x2 statt a 2l und a 23 statt 
a 32 zu schreiben. Wir wollen aber festsetzen, daß allgemein 
a ik denselben Koeffizienten wie a ki bedeuten soll, weil die vor 
stehenden drei Formeln so offenbar symmetrischer sind. Die 
Tangente des Kegelschnittes, deren Berührungspunkt der Punkt 
(x x : x 2 : x 3 ) ist, hat nach Satz 7 von Nr. 175 in den homogenen 
laufenden Koordinaten £ 2 , £ 3 die Gleichung: 
(«11% d~ «12% d - «13%)% ~T («21% d” «22% d - «23%)?2 d - 
d~ («3i% d~ «32% d~ «33%)% = 0. 
Die Kurvengleichung und die Tangentengleichung lassen 
sich beide knapper so schreiben: 
3 s 
2’*<*»•*%% = 2 ,ka ^i,%=°• 
i i 
Will man zu gewöhnlichen Koordinaten zurückkehren, so 
braucht man nur x x , x 2 , x 3 durch x, y, 1 und £ 1; £ 2 , £ 3 durch 
£, % 1 zu ersetzen. . 
177. Ebene algebraische Kurven. Ist u{x x , x 2 , x 3 ) 
eine homogene ganze rationale Funktion n ten Grades von x x , x 2 , x 3 , 
so sagt man, daß die Gleichung 
(1) u(x x , x 2 , x 3 ) = 0 
eine algebraische Kurve n ter Ordnung definiere. In Nr. 176 
z. B. lag eine allgemeine algebraische Kurve zweiter Ordnung 
SO* [17 «, ,ri