177\ 
308 
Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
vor, nämlich ein Kegelschnitt. Nach Nr. 175 ist jede algebra 
ische Kurve erster Ordnung 
a 1 x 1 -f a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 
eine gerade Linie. 
Nun sei (jj : £ 2 : J 3 ) irgendein bestimmt gewählter Punkt 
in der Ebene. Nach Satz 7 von Nr. 175 geht die Tangente 
des Punktes {x x : x 2 : x 3 ) der algebraischen Kurve n ter Ordnung (1) 
durch jenen Punkt, sobald 
(2) Ei^+Ei^+Ss“*“ 0 
ist. Weil u x , u Xi , u Xi nach Satz 10 von Nr. 91 homogene Funk 
tionen (n — l) teu Grades von x x , x 2 , x 3 sind, ist die linke Seite 
von (2) eine homogene ganze rationale Funktion (n — l) ten 
Grades von x x , x 2 , x 3 . Daher folgt: 
Satz 8: Die Berührungspunkte aller von einem festen Funkte 
ausgehenden Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve n ter Ord 
nung liegen auf einer algebraischen Kurve (n — l)^ r Ordnung. 
Ist der Punkt : J 2 : jt 3 ) ein Punkt der Geraden 
Ei + a 2 h + «3 = 0 
und rückt er auf ihr ins Unendlichferne, d. h. wird £ 3 = 0 
(vgl. Nr. 175) und i x : J 8 = — a 2 : a x , so nimmt (2) die Form an: 
a 3 u Xi -a x u^= 0, 
und dies ist nach wie vor die Gleichung einer algebraischen 
Kurve (n—l) ter Ordnung. Wir würden daher zu dem Satze 8 
für den Fall kommen, wo der gegebene feste Punkt unendlich 
fern liegt. Will man aber das Unendlichferne vermeiden, so 
braucht man nur zu beachten, daß sich alle linearen homogenen 
Gleichungen 
&1E1 + &2E2 4- b 3 i 3 = 0, 
die von demselben Wertsystem (— a 2 :«!:()) befriedigt werden, 
ergeben, wenn wir a x b 2 —a 2 b x = 0 wählen, d. h. b x :b s —a x :a 2 
setzen, so daß sie die Form haben: 
«1E1 + a zh + konst. i 3 = 0, 
oder, nicht homogen geschrieben, die Form: 
a x l + a 2 t) = konst.