J ~*^* a * r 
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Kap. I. Einleitende Begriffe 
nach y aufgelöst werden kann. Hier ist y ein Bruch, dessen 
Zähler und Nenner nur ganze positive Potenzen der unab 
hängigen Veränderlichen x x , x 2 , ... x n enthalten, die mitein 
ander und mit Konstanten nur durch Addition, Subtraktion 
und Multiplikation verknüpft sind. Alsdann heißt y eine 
rationale Funktion von x x , x 2 , . . . x n . Insbesondere ist also y 
eine rationale Funktion von nur einer Veränderlichen*x allein, 
wenn sie so dargestellt werden kann: 
ax m -\-ax m - 1 -\ (- a x + a 
(1) y = 0 1 m ~ 1 --—g. 
b.x r -f- b x r ~l -f- 
0 1 1 1 
, + b ,x-\-b 
wo m und r ganze positive Zahlen und die Koeffizienten a 0 , 
a x , . . . a m _ i , a m und b 0 , b x , . . . b r _ x , b r Konstanten bedeuten. 
Insbesondere heißt y eine ganze rationale Funktion von x x , x 2 , 
. . . x n , wenn der Nenner der rationalen Funktion eine Kon 
stante ist, d. h. wenn y gleich einer Summe von Produkten 
von positiven ganzzahligen Potenzen von x X) x 2 , ... x n und 
von Konstanten wird. Zum Unterschiede von den ganzen ra 
tionalen Funktionen nennt man rationale Funktionen, deren 
Nenner nicht konstant sind, gebrochene rationale Funktionen. 
Nach dem Vorhergehenden ist also y eine ganze rationale 
Funktion von nur einer Veränderlichen x, wenn sie so darge 
stellt werden kann: 
y = a 0 x m + a l x m ~ 1 h a m _ l x + a m . 
Ist d 0 0, so heißt sie eine ganze rationale Funktion vom 
m ten Grade. 
Eine Funktion y von 00-^ y y • • • ^ ji) die keine algebraische 
Funktion ist, heißt transzendent. So sind y = sin x, y = aff, 
y= aV 2 , y= 10 r transzendente Funktionen von x. 
Wenn eine Funktion y von x x , x 2 , . . . x n durch eine Glei 
chung gegeben ist, die x 1 , x % , ... x n enthält, aber nicht nach 
y aufgelöst ist, sagt man, daß y durch die Gleichung als 
unentwickelte oder implizite Funktion von x x , x i7 . . . x n gegeben 
wird. Wird z. B. y 2 — x = 0 vorgeschrieben, so ist y eine 
unentwickelte Funktion von x. Wir können sie jedoch in 
diesem Beispiele durch Auflösen der Gleichung nach y sofort 
als entwickelte oder explizite Funktion von x darstellen, aber 
es ergeben sich ihrer zwei, nämlich y = | j/x und y = — J/p j. 
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