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Sie stellen demnach lauter parallele Geraden vor. Daher lautet 
das letzte Ergebnis so: 
Satz 9: Die Berührungspunkte aller zu einer bestimmten 
Dichtung parallelen Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve 
n ter Ordnung liegen auf einer algebraischen Kurve (n— V) ter Ord 
nung. 
178. Wendepunkte einer algebraischen Kurve. 
Wieder sei 
(1) u(x 1} X*, ® # ) = 0 
die Gleichung einer ebenen algebraischen Kurve n t0T Ordnung, 
also u eine homogene ganze rationale Funktion n teu Grades 
von x x , x 2 , x 3 . Zur Abkürzung wollen wir die Ableitungen 
von u nach x 1} x 2} x 3 durch angehängte Indizes 1, 2, 3 be 
zeichnen. Es sei also gesetzt: 
dx;dx, 
h 2, 3), 
so daß u ik dasselbe bedeutet wie u ki . Wird wie in Nr. 175 
wieder £ 3 =(=0 angenommen und (1) differenziert, so ergibt sich 
entsprechend der Gleichung (4) von Nr. 175: 
(3) Mj dx + u 2 dy = 0. 
Ferner wird: 
du x = u n dx i 4 u i2 dx 2 -f u 13 dx 3 , 
also, weil x x = xx 3 , x 2 = yx 3 ist: 
du x = x 3 (u n dx 4 u 12 dy) 4 (%\ u n + ^2%2 + # 3 w 13 ) 
Da aber u x nach Satz 10, Nr. 91, homogen vom (n— l) ten Grade 
ist, folgt nach Satz 9 ebenda: 
X x U n 4 ^2 M 12 + % 3 U 13 = (n — T)U X . 
Also ergibt sich: 
du x = x 3 (u n dx 4 m 12 dy) 4 (w — 1) u t 
und ebenso geht hervor: 
du 2 = x 3 (u 21 dx 4 n 22 dy) + (n — 1 )u 2 • 
Weil die Gleichung (1), nicht homogen geschrieben, eine 
Gleichung zwischen x und y ist, können wir y als Funktion 
[177, 178 
dx.