§ 3. Singuläre Punkte 
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also stets positiv und nur für x = 0 gleich Null. Das Bild 
ist also eine vom Anfangspunkte 0 ansteigende und hier die 
positive Abszissenachse berührende Linie. Klap 
pen wir sie um die x-Achse herum, so geht 
das Bild von y = — x yx \ hervor. Beide zusam 
men, siehe Pig. 33, gehen die durch (1) definierte 
Kurve. Sie hat an der Stelle 0 eine Spitze. Wenn 
wir die linke Seite von (1) mit F bezeichnen, wird 
F x = — 3x 2 , F y = 2y, und beide Werte sind gleich 
Null nur für x = y = 0. Daraus folgt: 
Die Spitze ist Mer analytisch als derjenige Funkt 
der Kurve F = 0 gekennzeichnet, für den soivohl F x 
cds auch F y gleich Nidl ist. 
185. Beispiel eines isolierten Punktes. Wir be 
nutzen wieder die in Nr. 183 angenommene Gleichung (1), 
ersetzen aber a durch — a, schreiben also: 
(1) y 2 —x(au + fl) 2 =0, 
wo a eine positive Konstante bedeuten soll. Wir betrachten 
wieder die beiden einzelnen Funktionen: 
y = (x -f a) Y x | und y = — (x + a) Y x \ . 
Das Bild der zweiten geht aus dem der ersten durch Spiege 
lung an der Abszissenachse hervor. Da Yx auftritt, könnte 
man vermuten, daß x stets positiv sein müßte. Aber eine 
Ausnahme muß doch gemacht werden: Weil der Faktor x-\-a 
auftritt, ist y auch für x = — a reell, nämlich gleich Null 
Hier tritt also der merkwürdige Fall ein, 
daß die durch (1) definierte Kurve (siehe 
Fig. 34, worin a — 3 gewählt worden ist), 
zwar nur im Gebiete positiver Abszissen 
verläuft, aber noch ein vereinzelter Punkt 
J, nämlich der Punkt (— a, 0) der nega 
tiven Abszissenackse, zu ihr gehört. Er 
heißt ein isolierter Punkt. Wenn wir die 
linke Seite von (1) mit F bezeichnen, 
wird 
F x = — (x + a) (3x + a), F y =2y. m«. u. 
[184, 185 
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