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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Beide Werte sind gleich Null für x — — a, y = 0 und für 
x = —\a, y = 0; aber das zweite Wertepaare genügt der 
Gleichung (1) nicht und gehört daher auch gar nicht zu einem 
Kurvenpunkte. Also folgt: 
Der isolierte Punkt ist hier analytisch als derjenige Punkt 
der Kurve F = 0 gekennzeichnet, für den sowohl F x als auch 
F y gleich Null ist. 
186. Beispiel einer Schnabelspitze. Jetzt liege die 
Gleichung vor: * 
(1) (y — x 2 ) 2 — x h = 0. 
Ihr genügen zwei Funktionen y von x, nämlich: 
y = x 2 { 1-)- ]/x) und y = x 2 ( 1— ]/x), 
die nur für positives x definiert und stetig sind. Beide Funk 
tionen werden durch Kurvenzweige dargestellt, die vom Anfangs 
punkte 0 ausgehen. Dabei ist: 
y'=$x(4-f 5 ]/:r|) bzw. y = -^x (4 — 5 ]/x ). 
Für x = 0 sind beide Werte y gleich Null. Beide Zweige 
berühren also in 0 die positive #-Achse. Die erste Funk 
tion y ist stets positiv und wächst be 
ständig, die zweite ist positiv für je 
des positive x < 1, dagegen negativ 
für x > 1 und hat ihr Maximum für 
x = (*) 2 . Infolgedessen ergibt sich 
das Bild in Fig. 35. Der Anfangs 
punkt 0 ist wie im Beispiele von 
Nr. 184 eine Spitze, wenn beide Kur 
venzweige zusammen als eine Kurve 
aufgefaßt werden. Aber diese Spitze 
unterscheidet sich von der Spitze in Fig. 33 dadurch, daß jetzt 
beide Kurvenzweige in der Umgebung der Spitze auf derselben 
Seite der Spitzentangente liegen. Die Spitze heißt deshalb 
eine Schnabelspitze. Wird die linke Seite von (1) mit F be 
zeichnet, so kommt: 
F x = — 4:(y — x*)x — bx l , F y = 2 (y — x*). 
Beide Werte sind gleich Null nur für x = 0, y = 0. Also 
folgt: 
185,186]