§ 3. Singuläre Punkte 
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Die Schnabelspitze ist hier analytisch als derjenige Tunkt 
der Kurve F = 0 gekennzeichnet, für den sowohl F x als auch 
F y gleich Null ist. 
187. Definition der regulären und singulären 
Punkte. In den Nummern 181 bis 186 haben wir in einer 
Reihe von Beispielen gesehen, daß auf Kurven gewisse merk 
würdige Punkte Vorkommen können. Dabei sind die Beispiele 
der beiden ersten Nummern von anderer Art als die übrigen. 
Denn in Nr. 181 und 182 wurde eine entwickelte Funktion y 
von x betrachtet. Es zeigte sich, daß sie in einem gewissen 
Bereiche von x stetig und differenzierbar war, also den Be 
dingungen genügte, die wir in Nr. 167 für eine Kurve auf 
stellten. Der Endpunkt in Nr. 181 und der Eckpunkt in 
Nr. 182 dagegen gehörten zu Stellen x, für die jene Be 
dingungen nicht mehr erfüllt waren. Denn der Endpunkt ge 
hörte zu einem Werte von x, für den y zwei Werte (0 und 
+ oo) hatte, und der Eckpunkt gehörte zu einem Werte von 
x, für den y zwei Werte (1 und 0) hatte. Streng genommen 
gehören also diese Punkte nicht mehr zur Kurve, wenn wir 
den Kurvenbegriff in derselben Fassung wie in Nr. 167 bei 
behalten. 
In den Beispielen der Nummern 183 bis 186 dagegen 
war y als Funktion von x durch eine Gleichung zwischen x 
und y gegeben: 
F(x, y) = 0, 
indem nacheinander für F die Funktionen gewählt wurden: 
y 2 —x(x — a) 2 , y 2 —x z , y 2 — x (x -f- a) 2 , (y — x 2 ) 2 —x 5 . 
Alle diese Funktionen F(x, y) sind für alle Wertepäare x, y, 
wenn man x und y als unabhängige Veränderliche auffaßt, 
also nicht der Bedingung F — 0 unterwirft, definiert und 
stetig und haben stetige partielle Ableitungen von allen Ord 
nungen nach x und y. Daß dennoch solche merkwürdige 
Stellen wie ein Doppelpunkt, eine Spitze, ein isolierter Punkt 
und eine Schnabelspitze auftreten können, hat seinen Grund 
darin, daß y an x durch die Gleichung jF= 0 gebunden wurde. 
Diese Gleichung definierte nämlich in den Beispielen jedesmal 
Serret-Sch effer a, Diff.-u. Integr.-.Beohn. I. 6. ti. 7. Aufl. 21 ri8C5 187