§ 3. Singuläre Punkte 
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Die unter (4) in Nr. 169 angegebenen Gleichungen der 
Kurventangente und -normale sind für einen singulären Punkt 
nichtssagend, da ihre Koeffizienten verschwinden. Die Betrach 
tungen über Berührung in höherer Ordnung und über Konvexität 
und Konkavität sowie über Wendepunkte in den Nummern 172 
und 173 gelten nur für reguläre, nicht für singuläre Funkte. 
Wir bemerken außerdem, daß sich für eine in homogenen 
Koordinaten x y , x 2 , x s dargestellte Kurve u(x lf x 2 , xf) = 0 die 
Merkmale F x =0, F y = 0 des singulären Punktes nach (3) in 
Nr. 178 in der Form u t — 0, u 2 = 0 darstellen, und daß diese 
beiden Gleichungen die Gleichung u 3 = 0 nach sich ziehen, wie 
schon in Nr. 179 gezeigt wurde. Die in Satz 10 von Nr. 179 
erivähnte Hessesche Kurve H u = 0 trifft daher die Kurve u = 0 
außer in ihren Wendepunkten noch in ihren singulären Funkten. 
Wegen der über die Funktion F(x, y) gemachten Voraus 
setzungen haben wir von vornherein solche Funkte ganz aus 
geschlossen, in denen Unstetigkeiten eintreten, also Punkte wie 
den Endpunkt in Nr. 181 und den Eckpunkt in Nr. 182, und 
zwar deshalb, weil es kein allgemeines Verfahren zur Behand 
lung derartiger Punkte gibt. 
Schließlich noch eine Anmerkung: Wenn eine Kurve durch 
eine aufgelöste Gleichung y — f(x) gegeben und f(x) nach 
dem Taylorschen Satze nach Potenzen von x — x 0 entwickelbar 
ist, erfüllt die Funktion F{x, y) = y — f(x) die Bedingungen, 
denen wir oben die Funktion F unterwarfen. Da aber hier 
F = 1 + 0 ist, treten keine singulären Punkte auf. 
188. Reihenentwicklung an einer regulären Stelle. 
Die Funktion F(x, y) sei gleich Null insbesondere für x — 0, 
y — 0, und ferner sei die Funktion in einer Umgebung dieses 
Wertepaares nach dem Taylorschen Satze nach ganzen positiven 
Potenzen von x und y entwickelbar. Alsdann gehört der An 
fangspunkt 0 zur Kurve F(x, y) = 0, und für hinreichend kleine 
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21* [187, 188