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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Wir werden im dritten Bande zeigen, daß man eine derartige 
in der Umgebung von x = 0, y = 0 unbedingt konvergente 
Reihe gliedweise differenzieren darf. Das muß, nebenbei gesagt, 
besonders bewiesen werden, weil der Satz 12 von Nr. 34 von der 
sliedweisen Differentiation einer Summe nur für Summen mit 
einer endlichen Anzahl von Summanden dargetan wurde. Nehmen 
wir also an, daß die Reihe gliedweise differenziert werden darf, 
so folgt: 
2 |-P 7 *=-A-\o+2(J. 20 x-\-A n y)-\-%(J. so x*+%A^xy, 
1 [F if =^ 0 i+2(^ 11 a;+^02y) + 3 (^ S i^ 8 +2^ 1J a;y+^<»y 2 )+-*-, 
somit, wenn der Index Null die Substitution der Werte x = 0, 
y = 0 andeutet: 
(3) F(o) = Ä, o, Fif) = A 01 . 
Nach der Definition in voriger Nummer ist daher der Punkt 
0 ein regulärer Kurvenpunkt, sobald A 10 und A 0l nicht beide 
gleich Null sind. Ist A 0l = 0, aber A 10 =f= 0, so können wir 
immer durch Vertauschen der Koordinatenachsen erreichen, 
daß A 0l =f= 0 wird. Also ist es keine wesentliche Beschrän 
kung der Allgemeinheit, wenn wir an der regulären Stelle 0 
insbesondere voraussetzen: 
(4) F(°) = A 01 =*= 0. 
Wir werden im dritten Bande beweisen, daß es dann eine 
und nur eine Funktion y = f(x) von x gibt, die für x == 0 
verschwindet, ferner in einer Umgebung von # = 0 nach ganzen 
positiven Potenzen von x nach dem Taylorscken Satze ent 
wickelbar ist und drittens, in F(x,y) für y eingesetzt, die 
Funktion F gleich Null macht für alle Werte x in der Um 
gebung von x = 0, so daß y = f(x) die Darstellung der Kurve 
in der Umgebung des regulären Punktes 0 ist. Hier können 
wir von allem diesen vorläufig nur Eines dartun, nämlich, daß 
es höchstens eine Reihenentwicklung 
(5) y = a 0 + a y x + a t x 2 + a 3 x 3 + • • • 
geben kann, die der Bedingung F = 0 in der Umgebung von 
x = ü genügen könnte. Dabei machen wir wieder davon Ge 
brauch, daß, wenn eine Reihe in der Umgebung von X — 0 
unbedingt konvergiert, sie dort auch gliedweise differenziert 
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