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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven
dienen daher die Gleichungen (7) nacheinander zur eindeutigen
Berechnung endlicher Werte von a 1} a%, a 3 , . . ..
Trotzdem wir ohne Beweis die gliedweise Differentiation
von unendlichen Reihen benutzt haben, wird so erkannt, daß
es höchstens eine unendliche Heilte (5) geben kann, die der Be
dingung F(x, y) = 0 in der Umgebung von x = 0 formal genügt,
sobald nicht verschwindet. Wenn F^ = 0, aber F^ 4= 0
ist, können wir durch Vertauschung der Rollen, die x und y
spielen, ebenso einsehen, daß es höchstens eine unendliche Reihe
z = b 0 + \y + \y 2 + b 3 y 3 H
geben kann, die der Bedingung F(x,y) = 0 in einer Umgebung
von y — 0 formal genügt.
Wir haben jedoch nicht bewiesen, daß diese unendlichen
Reihen, die in ihrer Art einzig sind, wirklich konvergieren
und, in F = 0 eingesetzt, diese Gleichung befriedigen. Viel
mehr hat die Betrachtung noch große Lücken, die, wie ge
sagt, erst später ausgefüllt werden können.
Daß wir x 0 = 0 und y 0 = 0 wählten, war eine Einschrän
kung ohne jede Bedeutung. Genau dieselbe Überlegung wie
in der Umgebung der Stelle x = 0, y = 0 läßt sich in der
Umgebung irgendeiner Stelle (x 0 , y 0 ) machen, wenn in den
gebrauchten unendlichen Reihen überall x und y durch x — x 0
und y — y 0 ersetzt werden. An einer regulären Stelle (x 0 , y 0 )
können wir somit im Falle F =j= 0 für x = x 0 , y — y 0 gerade
eine unendliche Reihe für y — y 0 nach ganzen positiven Potenzen
von x — x 0 berechnen und, wenn F y = 0 für x = x 0 , y = y 0 ist,
eine unendliche Reihe für x — x 0 nach ganzen positiven Potenzen
von y — y 0 .
189. Reihenentwicklung an einer singulären Stelle.
Das Verfahren der vorigen Nummer versagt, wenn der Punkt
(0, 0) ein singulärer Punkt der Kurve F(x, y) = 0 ist, d. h.
wenn nicht nur F, sondern auch F x und F y gleich Null für
x = 0, y = 0 sind. Dann nämlich muß nach (3) in voriger
Nummer
A 10 = 0, A 01 = 0
angenommen werden, so daß die erste Gleichung (7) für
x = 0, y = 0 zur Identität wird. Wir können also aus ihr
188, 189]
