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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
an der Stelle x = 0, y = 0 formal erfüllen. Man kann, worauf 
wir hier nicht eingehen, zeigen, daß diese Entwicklungen in 
einer Umgebung von x = 0 unbedingt konvergieren und F = 0 
befriedigen, also zwei Kurvenzweige definieren, die durch den 
singulären Anfangspunkt geben. Beide Kurvenzweige sind ver 
schieden, da af =f= af ist. Also liegt jetzt ein Doppelpunkt der 
Kurve vor. Man kann nämlich überdies zeigen, — was wir hier 
ebenfalls nicht tun wollen —, daß dies die beiden einzigen Kur 
venzweige sind, die durch den Anfangspunkt gehen. 
Wir haben also, abgesehen von gewissen notwendigen 
Ergänzungen, erkannt, daß ein Punkt (x 0 , y 0 ) der Kurve 
F(x, y) = 0 ein Doppelpunkt ist, wenn F, I x , F y für x = x 0 , 
y = yo gleich Null sind, dagegen F* — F xx F yy für x = x 0 , 
y = y 0 positiv ist und F xx und F für x = x 0 , y = y 0 nicht 
beide verschwinden. Nämlich das, was wir hier nur der größeren 
Einfachheit der Formeln halber für den Punkt (0,0) ableiteten, 
hätten wir ebenso für irgendeinen anderen Punkt (x 0 , y 0 ) der 
Kurve finden können, wenn wir y — y 0 nach Potenzen von 
x — x 0 entwickelt hätten. 
Wenn dagegen F\ y -F xx F yy < 0 für x = x 0 , y = y 0 ist, 
kann weder F xx noch F für x = x 0 , y = y 0 verschwinden, 
und dann hat die quadratische Gleichung für a 1 keine reelle 
Wurzel. Wir kommen jetzt allerdings auch zu zwei Reihen 
entwicklungen, aber ihre Koeffizienten sind imaginär. Man 
kann zeigen, daß dann überhaupt keine reellen Kurvenzweige 
durch den betrachteten singulären Punkt gehen. Im Falle also, 
wo F, F x und F y an der Stelle (x 0 , y 0 ) gleich Null sind und 
F s xy — F xx F yy ebenda negativ ist, stellt der Punld (# 0 , y 0 ) einen 
isolierten Punkt der Kurve F = 0 vor. 
Beispiel: Liegt die Gleichung 
F = y 2 — x(x — a) 2 = 0 
vor, so ist, wie wir in Nr. 183 sahen, F = 0, F x — 0, F = 0 
nur für x — a, y — 0. Es ist nun F xx = 4a — 6x, F xy = 0, 
F yy = 2, also für den singulären Punkt F i xy — F xx F yy =4a 
und F xx = — 2a. Im Falle a> 0 ist der Punkt folglich ein 
Doppelpunkt, im Falle a < 0 ein isolierter Punkt. Hierzu vgl. 
Nr. 185, wo a durch — a ersetzt worden war. 
189]